1.5pt; border-left:none;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; padding:0cm 1.5pt 0cm 1.5pt;height:12.5pt"> 8E-06 |
2,756176 | 13,69395 | 235,506 |
262,8939 | 2,379554 | 35,90415 |
Таблиця 2
Завдання 2.
На базі статистичних даних показників змінних x (t) за n=18 місяців побудувати графік тренду зміни x (t), вибрати форму однофакторної моделі, оцінити всі її параметри, визначити зони надійності при рівні значимості a=0.9.Перевірити показник Х на автокореляцію, а також оцінити для наступних трьох місяців прогноз значення x (tр):
t | X (t) |
1 | 9,51 |
2 | 11,62 |
3 | 11,22 |
4 | 15,22 |
5 | 13,99 |
6 | 15,18 |
7 | 14,98 |
8 | 17,88 |
9 | 16,78 |
10 | 18,94 |
11 | 20,98 |
12 | 15,71 |
13 | 20,74 |
14 | 24,7 |
15 | 20,78 |
16 | 20,74 |
17 | 19,75 |
18 | 23,92 |
k кор. | 0,899208 |
Рішення:
Побудуємо графік тренду зміни Х(t)
Введемо гіпотезу про те, що зміну Х(t) розподілено за законом X(t)=btα.Визначимо параметри цієї регресії:
18 18
α=( Σ t 1 x 1 (t)-18 t 1 x 1 (t) )/(Σ x 1 2 (t)-18 x 1 2 ) =0.3081
t=1 t=1
b 1=x 1(t)-α t 1=2.2002.
Де х 1 (t)=ln x(t), t 1 =ln t ,α 1 = α ,b 1= ln b.Звідки a=0.3081,b=9.0268.
Дисперсію визначаємо за формулою:
n
S2= Σ(x 1-x)2/( n-p-1)=1.9044
i=1
Вибірковий коефіцієнт детермінації :
n n
R=(1-(S(xi-xi)2/S(xi-x)2))1/2= 0.9095
i=1 i=1
Для оцінки надійності рівняння регресії і значущості індексу кореляції обчислимо значення Fp-критерію Фішера:
Fp=dx2/S2=5.445,
n
де dx2= Σ(x 1-x)2/(n-1).Оскільки Fрозр>Fтабл=1,95,то прийнята
i=1
модель адекватна експерементальним даним.
Для оцінки меж надійних інтервалів лінії регресії спочатку визначимо надійні інтервали здобутої лінійної моделі,
Dx1i=ta,kS/n1/2(1+(x1i-x1)2/dx12)1/2
а потім виконаємо зворотній перехід за формулами :
Yi±DYi=exp(Y1i±DY1i).
Складемо таблицю1.
Визначимо автокореляцію за формулою:
n n
d= Σ(lt-lt-1)2/Σlt2=2.425.
t=2 t=1
Визначимо границі d-статистики: d1=1.16,dn=1.39.Оскільки виконується нерівність dn<d<4-dn ,то враховується гіпотеза про відсутність атокореляції.
Для оцінки меж надійних інтервалів прогнозу спочатку визначимо надійні інтервали здобутої лінійної моделі,
DX1p=ta,kS/n1/2(1+n+(X1i-X1)2/dx12)
а потім виконаємо зворотній перехід за формулами:
Yp±DYp=exp(Y1p±DY1p)
Складемо таблицю 2.
Таблиця 1.
t | x(t) | t1 | x1 (t) | x1r | xr | Dx1 | xmin | xvf[ |
1 | 9,51 | 0 | 2,2523 | 2,2002 | 9,0268 | 2,6461 | 0,6402 | 127,267 |
2 | 11,62 | 0,6931 | 2,4527 | 2,4137 | 11,1757 | 1,8811 | 1,7034 | 73,3196 |
3 | 11,22 | 1,0986 | 2,4177 | 2,5338 | 12,6626 | 1,4754 | 2,8958 | 55,371 |
4 | 15,22 | 1,3863 | 2,7226 | 2,6273 | 13,8362 | 1,228 | 4,0522 | 47,2427 |
5 | 13,99 | 1,6094 | 2,6383 | 2,696 | 14,8202 | 1,0767 | 5,0498 | 43,4978 |
6 | 15,18 | 1,7918 | 2,72 | 2,7522 | 15,6771 | 0,9922 | 5,8123 | 42,2844 |
7 | 14,98 | 1,9459 | 2,7067 | 2,7997 | 16,4396 | 0,9561 | 6,3193 | 42,7674 |
8 | 17,88 | 2,0794 | 2,8837 | 2,8408 | 17,13 | 0,9541 | 6,5974 | 44,4772 |
9 | 16,78 | 2,1972 | 2,8202 | 2,8771 | 17,763 | 0,9753 | 6,6978 | 47,1082 |
10 | 18,94 | 2,3026 | 2,9413 | 2,9096 | 18,349 | 1,0114 | 6,6738 | 50,4487 |
11 | 20,98 | 2,3979 | 3,0436 | 2,9389 | 18,8958 | 1,0568 | 6,5695 | 54,3499 |
12 | 15,71 | 2,4849 | 2,7543 | 2,9657 | 19,4092 | 1,1068 | 6,4169 | 58,7071 |
13 | 20,74 | 2,5649 | 3,0321 | 2,9904 | 19,8937 | 1,1598 | 6,2377 | 63,446 |
14 | 24,7 | 2,6391 | 3,2068 | 3.0132 | 20,3532 | 1,2138 | 6,0463 | 68,5134 |
15 | 20,78 | 2,7081 | 3,034 | 3,0345 | 20,7904 | 1,2678 | 5,8514 | 73,8702 |
16 | 20,74 | 2,7726 | 3,0321 | 3,0544 | 21,2079 | 1,3212 | 5,6585 | 79,4872 |
17 | 19,75 | 2,8332 | 2,9832 | 3,0731 | 21,6077 | 1,3736 | 5,4709 | 85,342 |
Таблиця 2.
t | xlp(t) | xp(t) | Dxlp | xpmin | xpmax |
19 | 3.1073 | 22.3610 | 7.1463 | 0.0176 | 28385.4 |
20 | 3.1231 | 22.7172 | 7.1565 | 0.0177 | 29131.4 |
21 | 3.1382 | 23.0612 | 7.1666 | 0.0178 | 29874.0 |
Відповідь.
З надійністю р=0,1 можна вважати, що експерементальним даним відповідає така математична модель:Yr=9.0268X0.3081.
Для tp=19 точкова оцінка прогнозу показника має значення Xp=22,36.З надійністю p=0,1прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0176;2838,4).
Для tp=20 точкова оцінка прогнозу показника має значення Xp=22,72.З надійністю p=0,1прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0177;29131,4).
Для tp=21 точкова оцінка прогнозу показника має значення Xp=22,36.З надійністю p=0,1 прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0178;29874,0).
Завдання 3.
Визначити параметри лінійної моделі залежності витрат на споживання С від рівня доходів D,збережень S та заробітної плати L.Оцінить коефіцієнти детермінації,автокореляції та перевірте показники на мультиколінеарність між факторами.Обчислення виконати на базі 13 статистичних даних певного регіону (C,D,S,L подані у тис $).
Дано:
І | С(і) | D(i) | S(i) | L(i) |
1 | 9,08 | 10,11 | 12,29 | 9 |
2 | 10,92 | 12,72 | 11,51 | 8,03 |
3 | 12,42 | 11,78 | 11,46 | 9,66 |
4 | 10,9 | 14,87 | 11,55 | 11,34 |
5 | 11,52 | 15,32 | 14 | 10,99 |
6 | 14,88 | 16,63 | 11,77 | 13,23 |
7 | 15,2 | 16,39 | 13,71 | 14,02 |
8 | 14,08 | 17,93 | 13,4 | 12,78 |
9 | 14,48 | 19,6 | 14,01 | 14,14 |
10 | 14,7 | 18,64 | 1625 | 14,67 |
11 | 18,34 | 18,92 | 16,72 | 15,36 |
12 | 17,22 | 21,22 | 14,4 | 15,69 |
13 | 19,42 | 21,84 | 18,19 | 17,5 |
Рішення:
Припустимо, що між показником Ŷ і чинниками Х1 Х2 Х3 існує лінійна залежність Ŷ=А1Х1+А2Х2+А3Х3 . Знайдемо оцінки параметрів,використовуючи матричні операції. Запишеио систему нормальних рівнянь у матричній формі: [X]T[X]ā=[X]TY. Якщо помножити матричне рівняння зліва на матрицю