Математика: Произведение двух групп, Курсовая работа

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Произведение двух групп

Курсовая работа

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-31

Закревская С.А.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры Алгебры и геометрии

Монахов В. С.

Гомель 2005

Содержание

Введение

1 О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса

2 О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2

3 Произведение разрешимой и циклической групп

3.1. Вспомогательные результаты

3.2. Доказательства теорем 1 и 2

Заключение

Список литературы

Введение

Данную работу можно рассматривать как продолжение трудов Б. Хупперта и В. Скотта. В ней приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, а именно являющихся произведением двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса , произведением двух групп с циклическими подгруппами индекса 2, произведением разрешимой и циклической групп.

Рассматриваются вопросы разрешимости, сверхразрешимости и изоморфизма конечных групп, с приведенными выше свойствами и приводится описание двух классов неразрешимых факторизуемых групп. Так же приводятся доказательства следующих теорем:

Теорема 1.1 . Если  и  - группы с циклическими подгруппами индексов , то конечная группа  разрешима.

Теорема 1.2 . Пусть  - группа Шмидта, а  - группа с циклической подгруппой индекса . Если  и  - конечная неразрешимая группа, то  изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .

Теорема 1.3 . Пусть  - 2-разложимая группа, а группа  имеет циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 4. Если  и  - конечная неразрешимая группа, то  изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .

Теорема 2.1 . Пусть конечная группа , где  и  - группы с циклическими подгруппами индексов . Тогда  разрешима,  и  для любого простого нечетного .

Теорема 2.2 . Если группы  и  содержат циклические подгруппы нечетных порядков и индексов , то конечная группа  сверхразрешима.

Теорема 2.3 . Пусть конечная группа , где  - циклическая подгруппа нечетного порядка, а подгруппа  содержит циклическую подгруппу индекса . Если в  нет нормальных секций, изоморфных , то  сверхразрешима.

Теорема 3.1 . Пусть конечная группа  является произведением разрешимой подгруппы  и циклической подгруппы  и пусть . Тогда , где  - нормальная в  подгруппа,  и  или  для подходящего .

Теорема 3.2 . Конечная группа, являющаяся произведением 2-нильпотентной подгруппы и циклической подгруппы, непроста. Если циклический фактор имеет нечетный порядок, то группа разрешима.

Теорема 3.3 . Если  - простая группа, где  - холловская собственная в  подгруппа, а  - абелева -группа, то  есть расширение группы, изоморфной секции из , с помощью элементарной абелевой 2-группы. В частности, если  циклическая, то  есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.

1. О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса

Доказывается, что конечная группа  разрешима, если группы  и  содержат циклические подгруппы индексов . Приводится описание двух классов неразрешимых факторизуемых групп. Библ. 18 назв.

В работе Б. Хупперт установил разрешимость конечной группы, которая является произведением двух диэдральных подгрупп. В. Скотт получил разрешимость группы , допустив в качестве множителей  и  еще так называемые дициклические группы. Диэдральные и дициклические группы содержат циклические подгруппы индекса 2, но не исчерпывают весь класс групп с циклическими подгруппами индекса 2. В настоящей заметке доказана

Теорема 1 . Если  и  - группы с циклическими подгруппами индексов , то конечная группа  разрешима.

Если подгруппа  нильпотентна, а в  есть циклическая подгруппа индекса 2, то, как показали H. Ито и Б. Хупперт, конечная группа  разрешима. Дополнением этого результата являются теоремы 2 и 3.

Теорема 2 . Пусть  - группа Шмидта, а  - группа с циклической подгруппой индекса . Если  и  - конечная неразрешимая группа, то  изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .

 обозначает наибольшую разрешимую инвариантную в  подгруппу. Группой Шмидта называется ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны.

Теорема 3 . Пусть  - 2-разложимая группа, а группа  имеет циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 4. Если  и  - конечная неразрешимая группа, то  изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .

Частным случаем теоремы 3, когда  - абелева, а  имеет порядок ,  - простое число, является теорема 8 Б. Хупперта.

Доказательства теорем 1--3 и составляют содержание настоящей заметки.

Рассматриваются только конечные группы. Все используемые определения и обозначения стандартны, их можно найти в обзоре С. А. Чунихина и Л. А. Шеметкова.

Вначале докажем несколько лемм.

Лемма 1 . Пусть в группе существует циклическая подгруппа индекса . Тогда каждая подгруппа и фактор-группа обладает, циклической подгруппой индекса . Доказательство осуществляется непосредственной проверкой.

Лемма 2 . Пусть ,  - собственная подгруппа группы ,  - подгруппа четного порядка с циклической силовской 2-подгруппой. Если , то  содержит подгруппу индекса 2.

Доказательство. Если  содержит инвариантную в  подгруппу , то фактор-группа  удовлетворяет условиям леммы. По индукции  обладает подгруппой индекса 2, поэтому и в  есть подгруппа индекса 2.

Пусть  не содержит инвариантных в  подгрупп . Тогда представление группы  подстановками правых смежных классов по  есть точное степени , где . Группу  можно отождествить с ее образом в симметрической группе  степени . Так как в  силовская 2-подгруппа  циклическая, то , где  - инвариантное 2-дополнение. Пусть , . ,  и . Подстановка  разлагается в произведение циклов

 

т. е. подстановка  имеет  циклов, каждый длины . Декремент подстановки равен  и есть нечетное число, поэтому  - нечетная подстановка. Теперь , а так как индекс  в  равен 2, то  - подгруппа индекса 2 в группе .

Лемма 2 обобщает лемму А. В. Романовского.

Замечание. Простая группа  является произведением двух подгрупп  и , причем , а  - группа порядка  с циклической силовской 2-подгруппой. Этот пример показывает, что требование  отбросить нельзя.

Лемма 3 . Пусть  - дважды транзитивная группа подстановок на множестве  и пусть  - стабилизатор некоторой точки . Тогда все инволюции из центра  содержатся в .

Доказательство. Пусть . Допустим, что существует , причем . Так как  транзитивна на , то . Ho , поэтому  и  - тождественная подстановка. Противоречие. Следовательно,  фиксирует только . Теперь подстановка  содержит только один цикл длины 1, а так как  - инволюция, то  нечетен. Но , поэтому существует силовская 2-подгруппа  из  с  и . Если , то , отсюда  и , т. е. . Теперь  и из теоремы Глаубермана следует, что .

Лемма 4 . Пусть центр группы  имеет четный порядок и силовская 2-подгруппа из  либо циклическая, либо инвариантна в . Если  - группа с циклической подгруппой индекса , то группа  непроста.

Доказательство. Пусть  - циклическая подгруппа в , для которой , а  - максимальная в  подгруппа, содержащая . Тогда . Если , то  и по лемме С. А. Чунихина группа  непроста. Значит, .

Допустим, что порядок  нечетен. Если , то . Если , то ввиду леммы 2  и поэтому опять . Рассмотрим представление  подстановками смежных классов по . Так как  - максимальная в  подгруппа, то  - примитивная группа подстановок степени . Если  - простое число, то  либо разрешима, либо дважды транзитивна. Если  - составное число, то, так как  - регулярная группа подстановок при этом представлении,  - опять дважды транзитивна. Из леммы 3 следует, что  непроста.

Пусть порядок  четен. Если , то  непроста по лемме 2. Значит,  и . Пусть  - силовская 2-подгруппа из . Если  инвариантна в , то  инвариантна и в . Следовательно,  - циклическая группа. Но  не является силовской в , поэтому  содержится как подгруппа индекса 2 в некоторой группе . Теперь для инволюции  из центра  имеем , т. е.  не максимальная в . Противоречие.

Следствие. Пусть группа , где группа  содержит циклическую подгруппу индекса . Если  - 2-разложимая группа четного порядка, то группа  непроста.

Лемма 5 . Пусть группа  содержит циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 2. Если  - 2-разложимая группа, то группа  разрешима.

Доказательство. Применим индукцию к порядку . Если , то ввиду леммы 1 фактор-группа  удовлетворяет условиям леммы. По индукции,  разрешима, отсюда разрешима и .

Пусть . Если  - циклическая, то  разрешима по теореме В. А. Ведерникова. Поэтому ,  - циклическая подгруппа индекса 2, . Пусть , где  - силовская 2-подгруппа из ,  - ее дополнение. Если , то  разрешима. Теперь  и  можно считать силовской 2-подгруппой в . Так как  и , то . Пусть  и . Тогда  и . По лемме С. А. Чунихина подгруппа  максимальна в  и . Представление группы  подстановками смежных классов по подгруппе  дважды транзитивное: если  - простое число, если  - составное. Из леммы 3 вытекает теперь, что .Противоречие.

Доказательство теоремы 1 . Применим индукцию к порядку группы G. Пусть  и  - циклические инвариантные подгруппы в  и в  соответственно, чьи индексы равны 1 или 2, а  и  - те силовские 2-подгруппы из  и , для которых  и  есть силовская 2-подгруппа . Будем считать, что . Если , то  и  разрешима по теореме Ито-Хупперта. Поэтому в дальнейшем полагаем, что . Ввиду леммы 1 каждая фактор-группа удовлетворяет условиям теоремы, поэтому

Допустим, что . Если , то  и . Так как  разрешима, то . Если , то  и  разрешима.

Пусть теперь . Тогда и . Так как  не является силовской подгруппой в , то  содержится как подгруппа индекса 2 в некоторой 2-группе . Обозначим через  силовскую 2-подгруппу из . Очевидно, что  инвариантна в .

Предположим, что  и пусть  - инволюция из . В  все подгруппы характеристические и  инвариантна в , поэтому  и . Пусть  - максимальная в  подгруппа, которая содержит . Тогда  разрешима по индукции. Если , то  содержится в  и . Значит, . Так как  - собственная в  подгруппа, то ,  и . Теперь  - дважды транзитивная группа степени  на множестве смежных классов по : если  - простое число, то применимо утверждение из, стр. 609; если  составное. Из леммы 3 получаем, что . Противоречие.

Следовательно, . Если , то  и .Так как  не содержит подгрупп, инвариантных в , то представление группы  подстановками по подгруппе  - точное степени 4. Поэтому  - группа диэдра порядка 8,  и . В этом случае  неабелева. Напомним, что  и . Таким образом, для силовской 2-подгруппы  из  имеем:  - группа порядка 4 или неабелева группа порядка 8 (если ).

Предположим, что порядки групп  и  делятся одновременно на нечетное простое число  и пусть  и  - силовские -подгруппы из  и  соответственно. Так как  инвариантна в , a  инвариантна в , то  и  - силовская -подгруппа в . Без ограничения общности можно считать, что . По теореме VI.10.1 из группа  содержит неединичную подгруппу , инвариантную в . Но теперь  и , а так как  инвариантна в , a  разрешима, то  по лемме С. А. Чунихина. Противоречие. Следовательно, порядки  и  не имеют общих нечетных делителей. В частности, в группе  силовские подгруппы для нечетных простых чисел циклические.

Пусть  - минимальная инвариантная в  подгруппа и  - силовская 2-подгруппа из , которая содержится в . Так как , то  неразрешима и . Подгруппа  даже простая потому, что силовские подгруппы по нечетным простым числам циклические.

Пусть вначале . Тогда  и  неабелева. По теореме П. Фонга из группа  диэдральная или полудиэдральная. Но в этих случаях . Непосредственно проверяется, что диэдральная и полудиэдральная группа порядка 16 не является произведением двух групп порядка 4.

Предположим теперь что . Тогда  - элементарная абелева подгруппа или диэдральная. Если  абелева, то  или группа Янко  порядка 175560. Так как  неабелева, то  и индекс  в  четен. Группа  разрешима, поэтому  и  или . Ho  группа порядка 3, a . Противоречие. Если  - диэдральная группа порядка 8, то  - нечетное простое число или . Но группы  и  не допускают нужной факторизации, поэтому  - собственная в  подгруппа. Теперь  или . Если , то  - диэдральная группа порядка 16, а так как , то . Противоречие. Если , то  и в  существует подгруппа порядка  или .

Пусть, наконец, . Тогда  и . Так как фактор-группа  разрешима по индукции, то  и . Используя самоцентрализуемость силовской -подгруппы в , нетрудно показать, что  не допускает требуемой факторизации. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2 . Допустим, что теорема неверна и группа  - контрпример минимального порядка. Фактор-группа группы Шмидта есть либо группа Шмидта, либо циклическая -группа. Поэтому в силу индукции и теоремы 1 мы можем считать, что . Пусть  - произвольная минимальная инвариантная в  подгруппа. Если , то , а так как  - нильпотентная группа, то  разрешима по теореме Ито--Хупперта или по теореме Виландта--Кегеля. Отсюда разрешима и . Противоречие. Значит, , в частности,  разрешима. Допустим, что . Тогда  и  удовлетворяет условиям леммы. Поэтому  изоморфна подгруппе группы , содержащей  для подходящего . Так как  есть прямое произведение изоморфных простых неабелевых групп, то  и . Отсюда . Подгруппа  инвариантна в  так как , то  разрешима и . Теперь  изоморфна некоторой группе автоморфизмов , т. е.  из заключения теоремы. Противоречие. Значит, .

Таким образом, если  - произвольная инвариантная в  подгруппа, то .

Пусть ,  - инвариантная силовская -подгруппа,  - силовская -подгруппа. Через  обозначим циклическую подгруппу в , для которой . Допустим, что . В этом случае  и если  - подгруппа индекса 2 в , то  - циклическая подгруппа индекса 2 в . По теореме 1 группа  разрешима. Противоречие. Значит, . Теперь, если в  есть инвариантная подгруппа  четного индекса, то  есть группа Шмидта с инвариантной силовской 2-подгруппой, что противоречит лемме 1.

Следовательно,  и в  нет инвариантных подгрупп четного индекса.

Допустим, что , тогда  - группа нечетного порядка. Силовская 2-подгруппа  из  является силовской подгруппой в  и по результату В. Д. Мазурова группа  диэдральная или полудиэдральная. Если  диэдральная, то по теореме 16.3 группа  изоморфна  или подгруппе группы . Так как  не допускает требуемой факторизации, то  следует из заключения теоремы. Противоречие. Значит,  - полудиэдральная группа. Если  - центральная инволюция из , то , поэтому  и  разрешима. По теореме Мазурова группа  изоморфна  или . Нетрудно проверить, что  и  не допускают требуемой факторизации. Значит, .

Пусть  - максимальная в  подгруппа, содержащая . Тогда, если , то  и  содержит подгруппу , инвариантную в  по лемме Чунихина. В этом случае,  и . Противоречие. Следовательно, .

Допустим, что  не является силовской 2-подгруппой в . Тогда  немаксимальна в , а так как  и , то по лемме 2 порядок  нечетен. Теперь  и  содержит подгруппу индекса 2. Противоречие.

Таким образом,  - силовская 2-подгруппа группы . Теперь,  и  - максимальная в  подгруппа. Представление подстановками смежных классов по  дважды транзитивное и по лемме 3 порядок центра  нечетен. Отсюда следует, что  - абелева группа.

Пусть  - минимальная инвариантная в  подгруппа. Группа  не является -группой, поэтому некоторая силовская в  подгруппа циклическая и  - простая группа. Теперь можно применить результат Уолтера. Так как и группе Янко и в группах типа  и нормализатор силовской 2-подгруппы имеет порядок , a , то  изоморфна , где  или . Фактор-группа  разрешима, поэтому  и  изоморфна некоторой группе автоморфизмов , т. е.  из заключения теоремы. Противоречие. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 3 . Пусть группа  - контрпример минимального порядка,  - циклическая подгруппа в  и , где . Пусть , где  - силовская 2-подгруппа , а  - ее 2-дополнение в  . Если  - силовская 2-подгруппа , то  и  разрешима по теореме Ведерникова. Противоречие. Теперь  можно считать силовской 2-подгруппой группы .

Предположим, что . Фактор-группа  и  - 2-разложимая группа. Очевидно, что циклическая подгруппа  нечетного порядка инвариантна в  и ее индекс равен 1, 2 или 4. В первых двух случаях группа  разрешима по лемме 5, поэтому разрешима и . Противоречие. Если индекс равен 4, то по индукции и учитывая, что , получаем: группа  изоморфна подгруппе , содержащей  для некоторых . Противоречие. Следовательно, в  нет разрешимых инвариантных подгрупп, отличных от единицы.

Теперь покажем, что силовская 2-подгруппа  является диэдральной группой порядка 4 или 8. Если , то , и так как  неразрешима, то  диэдральная. Пусть  не содержится в .

Предположим, что  и пусть , где  - инволюция из . Теперь  и . Пусть вначале  и  максимальна в . Тогда  - дважды транзитивная группа на множестве смежных классов по подгруппе : если  - простое число; если  - непростое число. Из леммы 3 получаем, что . Противоречие. Пусть  - максимальная в  подгруппа, которая содержит . Тогда  и . Кроме того, . Пусть  - минимальная инвариантная в  подгруппа, которая содержится в ,  существует по лемме Чунихина, а так как , то , а следовательно, и  неразрешимы. По индукции  изоморфна подгруппе , содержащей , для некоторых . Все инвариантные в  подгруппы неразрешимы, поэтому , а так как  - минимальная инвариантная в  подгруппа, то . B силу леммы 5 , поэтому  разрешима. Но тогда  и  изоморфна группе автоморфизмов группы , т. е.  из заключения теоремы. Противоречие.

Значит, , поэтому  не содержит инвариантных в  подгрупп, отличных от 1. Следовательно, представление группы  подстановками смежных классов по подгруппе  точное степени 4. Отсюда группа  есть группа диэдра порядка 8.

Таким образом, силовская 2-подгруппа  в группе  есть диэдральная группа порядка 4 или 8. По результату Горенштейна - Уолтера группа  изоморфна , или подгруппе группы . Так как , не допускает требуемой факторизации, то группа  - из заключения теоремы. Противоречие. Теорема доказана.

В заключение отметим, что, используя технику доказательств теорем 1--3 и следствие леммы 4, можно получить описание неразрешимых групп  при условии, что  - 2-разложимая группа, а в группе  существует циклическая подгруппа индекса .

2. О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2

В 1953 г. Б. Хупперт установил разрешимость конечной группы, которая является произведением двух диэдральных подгрупп. Развивая этот результат, В. Скотт получил разрешимость конечной группы , допустив в качестве множителей еще так называемые дициклические группы. Эти результаты достаточно подробно изложены в монографии. Диэдральные и дицикдические группы содержат циклические подгруппы индекса 2, но далеко не исчерпывают весь класс групп с циклическими подгруппами индекса 2.

В 1974 г. автор установил разрешимость конечной группы  при условии, что факторы  и  содержат циклические подгруппы индексов 2, тем самым решив задачу, рассматриваемую Хуппертом и Скоттом. В настоящей заметке показывается, что 2-длина таких групп не превышает 2, а -длина равна 1 для любого нечетного . Эти оценки точные, на что указывает пример симметрической группы . Получены также два признака сверхразрешимости конечной факторизуемой группы.

Все встречающиеся определения и обозначения общеприняты. В частности,  - множество простых делителей порядка , a  - циклическая группа порядка .

Лемма 1 . Метациклическая группа порядка  для нечетного простого  неразложима в полупрямое произведение нормальной элементарной абелевой подгруппы порядка  и подгруппы порядка .

Доказательство. Допустим противное и пусть  - метациклическая группа порядка , разложимая в полупрямое произведение нормальной элементарной абелевой подгруппы  порядка  и подгруппы  порядка ,  - нечетное простое число. Ясно, что  неабелева. Если  содержит нормальную подгруппу  порядка  с циклической фактор-группой , то  содержится в центре  и  абелева по лемме 1.3.4, противоречие. Следовательно,  содержит циклическую подгруппу индекса  и подгруппа , порожденная элементами порядка , является элементарной абелевой подгруппой порядка  по теоремам 5.4.3 и 5.4.4. Теперь , и подгруппы  порядка  не существует. Значит, допущение неверно и лемма справедлива.

При  утверждение леммы неверно, контрпримером служит диэдральная группа порядка 8.

Лемма 2 . Разрешимая конечная группа с циклической подгруппой Фиттинга сверхразрешима.

Доказательство. Пусть  - конечная разрешимая группа с циклической подгруппой Фиттинга . Так как , то  как группа автоморфизмов циклической группы будет абелевой по теореме 1.3.10, поэтому  сверхразрешима.

Лемма 3 . Если в сверхразрешимой группе нет неединичных нормальных 2-подгрупп, то силовская 2-подгруппа абелева.

Доказательство. Коммутант сверхразрешимой группы нильпотентен (теорема VI.9.1), поэтому силовская 2-подгруппа из коммутанта нормальна в группе. Если коммутант имеет нечетный порядок, то силовская 2-подгруппа в группе абелева.

Напомним, что  - наибольшая нормальная в  -подгруппа,  - центр группы , а  - наименьшая нормальная в  подгруппа, содержащая . Через  обозначается -длина группы .

Лемма 4 . Пусть  и  - подгруппы конечной группы , обладающие, следующими свойствами:

1)  для всех ;

2) , где .

Тогда .

Доказательство. См. лемму 1.

Теорема 1 . Пусть конечная группа , где  и  - группы с циклическими подгруппами индексов . Тогда  разрешима,  и  для любого простого нечетного .

Доказательство. По теореме из группа  разрешима. Для вычисления -длины воспользуемся индукцией по порядку группы . Вначале рассмотрим случай нечетного . По лемме VI.6.4 подгруппа Фраттини единична и в группе  единственная минимальная нормальная подгруппа. По теореме III.4.5 подгруппа Фиттинга  - минимальная нормальная подгруппа. Так как , то  - -группа. Если , то  - абелева группа порядка, делящего , а так как , то . Силовская -подгруппа в  метациклическая по теореме III.11.5, поэтому  - элементарная абелева порядка  и  изоморфна подгруппе из , в которой силовская -подгруппа имеет порядок . Так как  для некоторой максимальной в  подгруппы , то из леммы 1 получаем что  - силовская в  подгруппа и .

Рассмотрим теперь 2-длину группы . Ясно, что  и  - единственная минимальная нормальная в  подгруппа, которая является элементарной абелевой 2-подгруппой. Пусть  и  - -холловские подгруппы из  и  соответственно. По условию теоремы  - циклическая нормальная в  подгруппа,  - циклическая нормальная в  подгруппа. Теперь  - -холловская в  подгруппа по теореме VI.4.6, и можно считать, что . Для любого элемента  имеем: , a по лемме 4 либо , либо . Но если , то  и  централизует , что невозможно. Значит, , а так как в  только одна минимальная нормальная подгруппа, то  и  - 2-группа. Фактор-группа  не содержит нормальных неединичных 2-подгрупп, поэтому подгруппа Фиттинга  имеет нечетный порядок. Но -холловская в  подгруппа  циклическая, а по лемме 2 фактор-группа  сверхразрешима и силовская 2-подгруппа в  абелева по лемме 3, Теперь  по теореме VI.6.6 и . Теорема доказана.

Лемма 5 . Конечная группа с подгруппой Фиттинга индекса  сверхразрешима.

Доказательство. Проведем индукцией по порядку группы. Пусть  - конечная группа, в которой подгруппа Фиттинга  имеет индекс . По индукции можно считать, что подгруппа Фраттини единична и в группе  только одна минимальная нормальная подгруппа. Поэтому F - минимальная нормальная в  подгруппа. Пусть  - инволюция из . Если , то  - нормальная в  подгруппа. Если , то  и  - неединичная нормальная в  подгруппа. Итак, в группе  имеется нормальная подгруппа  простого порядка. По индукции  сверхразрешима, значит, сверхразрешима и группа .

Лемма 6 . Конечная группа, являющаяся произведением двух подгрупп порядков, делящих , сверхразрешима.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку группы. Пусть конечная группа , где подгруппы  и  имеют порядки, делящие ,  - простое число. Все фактор-группы группы  удовлетворяют условиям леммы, поэтому по индукции нетривиальные фактор-группы группы  сверхразрешимы. Следовательно, подгруппа Фраттини группы  единична, а подгруппа Фиттинга  - минимальная нормальная в  подгруппа. По лемме 2 подгруппа  нециклическая.

Если  - 2-группа, то  и  изоморфна подгруппе группы , поэтому  - группа порядка 3, а группа  имеет порядок 12 и содержит подгруппу порядка 6. Следовательно,  сверхразрешима.

Пусть теперь  - -группа. Так как  сверхразрешима по индукции, то  2-нильпотентна. Но , так как , значит,  - 2-группа, которая по лемме 5 имеет порядок 4. Группа  неприводимо действует на подгруппе , поэтому  циклическая по теореме Машке. С другой стороны,  и силовская 2-подгруппа  из  есть произведение двух подгрупп  и  порядков 2. Противоречие. Лемма доказана.

Теорема 2. Если группы  и  содержат циклические подгруппы нечетных порядков и индексов , то конечная группа  сверхразрешима.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку группы. По теореме 1 группа  разрешима. Поскольку условия теоремы переносятся на все фактор-группы, то по индукции все нетривиальные фактор-группы группы  сверхразрешимы. Поэтому подгруппа Фраттини группы  единична, а подгруппа Фиттинга  - единственная минимальная нормальная в  подгруппа. Ясно, что  имеет непростой порядок. Если  - 2-группа, то  порядка 4 и  изоморфна подгруппе группы . Но теперь порядок  делит 12, и  сверхразрешима по лемме 6.

Следовательно,  - -группа порядка . Силовская -подгруппа в  метациклическая по теореме III.11.5, поэтому  - элементарная абелева порядка  и  изоморфна подгруппе группы , в которой силовская -подгруппа имеет порядок . Так как  для некоторой максимальной в  подгруппы , то из леммы 1 получаем, что  - силовская в  подгруппа и можно считать, что , где .

Через  - обозначим разность . Так как -холловские подгруппы  из  и  из  нормальны в  и  соответственно, то  - -холловская в  подгруппа. Если , то  сверхразрешима по лемме 6. Пусть . Для любого элемента  имеем:  и по лемме 4 либо , либо . Если , то из минимальности  получаем, что  и  централизует , что невозможно. Значит,  и . Но в  единственная минимальная нормальная подгруппа, поэтому  и  делит . Но если , то  нормальна в , противоречие. Значит, .

Так как  сверхразрешима и  - -холловская подгруппа в , то  нормальна в  и по лемме Фраттини  содержит силовскую 2-подгруппу  из . Ясно, что . Подгруппа  ненормальна в , значит, , но теперь  нормальна в  и нормальна в , противоречие. Теорема доказана.

Теорема 3 . Пусть конечная группа , где  - циклическая подгруппа нечетного порядка, а подгруппа  содержит циклическую подгруппу индекса . Если в  нет нормальных секций, изоморфных , то  сверхразрешима.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку группы. По теореме 1 группа  разрешима, а так как условия теоремы переносятся на все фактор-группы, то подгруппа Фиттинга  - единственная минимальная нормальная в  подгруппа. Если  - 2-группа, то  содержится в  и поэтому порядок  равен 4, a  изоморфна подгруппе группы . Если силовская 3-подгруппа  из  неединична, то  действует на  неприводимо и  - нормальная в  подгруппа, изоморфная , противоречие. Если , то  - 2-группа и  сверхразрешима.

Следовательно,  - -группа порядка . Так как силовская -подгруппа в  метациклическая по теореме III.11.5, то  - элементарная абелева порядка  и  изоморфна подгруппе из , в которой силовская -подгруппа имеет порядок . Так как  для некоторой максимальной в  подгруппы , то из леммы 1 получаем, что  - силовская в  подгруппа и можно считать, что , где , a .

Через  обозначим . Как и в теореме 2, легко показать, что -холловская подгруппа  из  неединична, а . Так как  - -холловская в  подгруппа и  сверхразрешима, то  нормальна в  и  содержит силовскую 2-подгруппу  из , которая совпадает с силовской 2-подгруппой в . Подгруппа  ненормальна в , поэтому . Но теперь  нормальна в , а значит, и в , противоречие. Теорема доказана.

3. Произведение разрешимой и циклической групп

В настоящей заметке доказывается следующая

Теорема 1. Пусть конечная группа  является произведением разрешимой подгруппы  и циклической подгруппы  и пусть . Тогда , где  - нормальная в  подгруппа,  и  или  для подходящего .

 означает произведение всех разрешимых нормальных в  подгрупп.

Следствие. Если простая группа  является произведением разрешимой и циклической подгрупп, то .

Несмотря на то, что среди  при нечетном  нет групп факторизуемых разрешимой подгруппой и циклической, группы  допускают указанную факторизацию для каждого .

Из теоремы 1 вытекает

Теорема 2. Конечная группа, являющаяся произведением 2-нильпотентной подгруппы и циклической подгруппы, непроста. Если циклический фактор имеет нечетный порядок, то группа разрешима.

Работа состоит из двух параграфов. В первом параграфе приводятся необходимые вспомогательные результаты. Кроме того, доказывается теорема 3, которая является обобщением теоремы Виландта о разрешимости внешней группы автоморфизмов простой группы, содержащей подгруппу простого индекса. В 3.2 доказываются теоремы 1 и 2.

Все обозначения и определения стандартны. Запись  означает, что конечная группа  является произведением своих подгрупп  и .

3.1 Вспомогательные результаты

Пусть  - подгруппа группы . Тогда  означает наибольшую нормальную в  подгруппу, которая содержится в , a  - наименьшую нормальную в  подгруппу, которая содержит .

Лемма 1. Если  и  содержит подгруппу , нормальную в , то .

Лемма 2. Пусть  и  - нормальная в  подгруппа. Если , то .

Доказательство. Поскольку , то . Так как , то

Лемма 3 . Если  и  абелева, то .

Доказательство. Пусть . Ясно, что  и . Если , то  и . Таким образом,  и .

Лемма 4 . Пусть  и  не делит . Тогда  не сопряжен ни с одним элементом из .

Доказательство. Если , то  и  делит . Но  по лемме VI.4.5 из, поэтому . Противоречие.

Лемма 5 . Пусть  - минимальная нормальная подгруппа группы  и . Если  разрешима, то  и  изоморфна подгруппе из .

Доказательство. . Так как  разрешима, то  и . По лемме 1.4.5 из группа  есть группа автоморфизмов .

Лемма 6 . Пусть , где  - собственная подгруппа , а  циклическая. Если , то справедливо одно из следующих утверждений:

1)  и  - нормализатор силовской 2-подгруппы, а ;

2) , а ;

3) , а .

Доказательство. См. теорему 0.8 из.

Лемма 7 . Группа  при любом  является произведением разрешимой подгруппы и циклической.

Доказательство. Если , то утверждение следует из леммы 6. Пусть , и  - силовская -подгруппа в . Известно, что  циклическая и в  есть циклическая подгруппа  порядка . Так как  и , то .

Лемма 8 . Если , то  является произведением разрешимой и циклической подгрупп.

Доказательство. Известно, что , где  - циклическая группа порядка, делящего , и  нормализует подгруппу , где  - силовская 2-подгруппа в . Так как , где  - циклическая группа порядка , то  и  разрешима.

Лемма 9 . Группа  является произведением разрешимой подгруппы и циклической. Группа  не допускает указанной факторизации.

Доказательство. Группа  имеет порядок  и в ней содержится подгруппа  индекса 2. Так как  дважды транзитивна на множестве из 13 символов, то стабилизатор точки имеет порядок  и является разрешимой группой. Поэтому  является произведением разрешимой подгруппы порядка  и циклической подгруппы порядка 13.

Покажем, что  не содержит подгруппы индекса 13. Допустим противное и пусть  - подгруппа порядка . Так как  дважды транзитивна на смежных классах по , то центр  имеет нечетный порядок по лемме 2.2, а по лемме Берноайда , где .

Пусть  - подгруппа Фиттинга группы , где . Известно, что нормализатор силовской 3-подгруппы в  имеет порядок , поэтому . Так как  разрешима, то  и  изоморфна подгруппе из .

Предположим, что . Тогда  делит порядок , а значит и . Но это невозможно, так как . Противоречие.

Следовательно, . Далее , так как  - подгруппа нечетного порядка, поэтому . Ясно, что , a  и . Силовская 2-подгруппа  из  является силовской в , значит, она полудиэдральная порядка 16, все инволюции сопряжены и централизатор каждой инволюции изоморфен  порядка . Поэтому .  как подгруппа из  полудиэдральна при , либо циклическая, либо кватернионная, либо диэдральная порядка 4 или 8. В любом случае порядок  не делится на 9. Таким образом, . Противоречие. Итак,  не содержит подгруппы индекса 13.

Пусть , где  - разрешимая подгруппа, а  - циклическая. В  силовокие 13-подгруппы самоцентрализуемы, поэтому 13 делит порядок . Так как в  нет  - холловской подгруппы, то 3 делит порядок . Но в  силовская 3-подгруппа имеет экспоненту 3, поэтому в  есть подгруппа  порядка . Теперь силовская 13-подгруппа из  не самоцентрализуема. Противоречие. Лемма 9 доказана.

Теорема 3 . Если  - простая группа, где  - холловская собственная в  подгруппа, а  - абелева -группа, то  есть расширение группы, изоморфной секции из , с помощью элементарной абелевой 2-группы. В частности, если  циклическая, то  есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.

Доказательство. Из простоты  и леммы Чунихина вытекает, что  и  максишльна в . Представление группы  перестановками на смежных классах подгруппы  будет точным и дважды транзитивным, следовательно, есть подгруппа перестановок симметрической группы S степени, равной порядку . Так как  - регулярная и транзитивная группа и , то  также транзитивна. Но  по теореме 1.6.5, поэтому  самоцентрализуема в .

Группа автоморфизмов , индуцированная элементами из , называется группой подстановочных автоморфизмов. Очевидно , а по теореме 3 подгруппа  нормальна в  и  - элементарная абелева 2-группа.

По лемме Фраттини , поэтому обозначив  будем иметь . Так как , то  изоморфна секции из . В частности, если  циклическая, то  абелева и  есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.

3.2 Доказательства теорем 1 и 2

Доказательство теоремы 1 . Предположим, что теорема неверна и пусть  - контрпример минимального порядка. Так как , то  и  по лемме 3.

Допустим, что  не максимальна в  и пусть  - прямое произведение минимальных нормальных в  подгрупп и  - наибольшее. Очевидно,  содержит все минимальные нормальные в  подгруппы. Так как , то  и . Поэтому  изоморфна подгруппе из .

Допустим, что  для некоторого . Тогда  и  разрешима. Значит, . Пусть  - подгруппа в , собственно содержащая . Так как  и  - нормальная в  неединичкая подгруппа, то . Теперь минимальная нормальная в  подгруппа из  совпадает с  и , противоречие. Таким образом,  для любого . По индукции  изоморфна подгруппе , где  - есть прямое произведение, построенное из групп . Очевидно, что , поэтому  также есть прямое произведение, построенное из групп . Следовательно,  обладает этим же свойством и  - подгруппа из . Противоречие.

Итак,  максимальна в . Поэтому представление  перестановками на множестве смежных классов подгруппы  будет точным и примитивным. Так как , то  в этом представлении регулярна и  дважды транзитивна. Пусть  минимальная нормальная в  подгруппа. Применяя теорему 11.3 и результат Берноайда, заключаем, что  проста и примитивна, т.е.  максимальна в . Так как , то  разрешима и  по лемме 5. Таким образом,  изоморфна подгруппе из .

Предположим, что . Тогда  неразрешима,  и . Так как , то по индукции  изоморфна подгруппе из , а  или  и  из заключения теоремы. Следовательно,  и  по лемме 2.

Пусть порядок  четен. Тогда  содержит подгруппу индекса 2 по лемме 4.1. По теореме Хольта подгруппа  2-транзитивна и изоморфна  - степень нечетного простого числа или группа типа Ри в их обычных 2-транзитивных представлениях. Если , то  из заключения теоремы. Внешняя группа автоморфизмов группы типа Ри имеет нечетный порядок, поэтому  не содержится в группе автоморфизмов группы типа Ри.

Пусть теперь  изоморфна  - простое нечетное число. Тогда , где  и , где  - силовская -подгруппа из  и . Из леммы 2 получаем . Так как в  все инволюции сопряжены и  имеет четный порядок, то по лемме 4 подгруппа  имеет нечетный порядок, в частности  не делит .

Предположим, что существует простое число , делящее  и . Если , то по лемме 2.5 порядок  делит , а так как , то  делит . Если , то  делит  и элементарные вычисления и применение леммы 2.5 показывают, что  делит . Так как , то в любом случае . Известно, что , поэтому  и . Противоречие с леммой 2.5.

Следовательно,  не может быть изоморфна . Случай, когда порядок  четен, рассмотрен полностью.

Пусть порядок подгруппы  нечетен. Тогда  содержит некоторую силовскую 2-подгруппу из . По теореме О'Нэна [??] подгруппа  изоморфна  или  и  нечетное число.

Пусть  изоморфна .Тогда  и  делит . Поэтому  содержит силовскую 2-подгруппу из  и, используя информацию о подгруппах в , получаем, что  делит , a  делит  или . Теперь  делится на , которое делится на  или на . Противоречие.

Пусть  изоморфна . Так как  имеет нечетный порядок, то силовская 2-подгруппа  из  содержится в . Если , то  и по лемме 3.3 имеем . Если , то  нормальна в , так как разрешимая группа с силовской 2-подгруппой  имеет 2-длину 1. Итак, в любом случае . Но  дважды транзитивна на смежных классах по , поэтому  и  нормальна в .

Поскольку  и . Кроме того, , поэтому  - нечетное число, делящее . Так как  - циклическая группа нечетного порядка в , то либо  делит , либо  делит . Поэтому  делится на , либо на . Очевидно,  при . Случай  исключается непосредственно. Следовательно,  неизоморфна .

Предположим, что  - нечетное и . Так как  - стабилизатор точки и  разрешима индекса , то , либо . Группа  не допускает требуемой факторизации по лемме 9. Поэтому либо , либо . Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2 . Пусть  - 2-нильпотентная группа и  - ее силовская 2-подгруппа,  - циклическая. Очевидно, мы можем считать, что . Пусть  - максимальная в  подгруппа, содержащая . Так как , то . Предположим, что . Тогда  и группа  непроста. Если порядок  нечетен, то по индукции  разрешима и , противоречие. Таким образом, , кроме того,  максимальна в . Теперь  - дважды транзитивна на множестве смежных классов по . Если порядок  четен, то группа  непроста по лемме 4.1. Пусть порядок  нечетен. Тогда  - силовская в  подгруппа. По теореме Виландта-Кегеля , а по лемме 3.3  и  2-разложимая подгруппа. По теореме 1V.2.6 подгруппа  неабелева. Так как из теоремы 1 в случае, когда порядок  нечетен следует, что силовская 2-подгруппа в  абелева, то имеем противоречие. Теорема доказана.

Симметрическая группа пяти символов факторизуется 2-нильпотентной подгруппой порядка 20 и циклической подгруппой порядка 6. Поэтому условие нечетности порядка циклического фактора существенно.

Заключение

В данной курсовой работе были приведены некоторые результаты, полученные Монаховым В. С. (Гомельская лаборатория института математики), проливающие свет на такие важные вопросы в теории конечных групп, как разрешимость и сверхразрешимость конечных групп, являющихся произведением двух групп с различными свойствами, а именно содержащих циклическую подгруппу индекса , содержащих циклические подгруппы индекса 2, разрешимые и циклические группы.

Эти полученные данные изложены в теоремах 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 2.2, 2.3, 3.1, 3.2 и 3.3. Так же представляют интерес данные изложенные в леммах, которые были использованы при доказательстве выше упомянутых теорем. В особенности следует выделить лемму 1.2, которая обобщает лемму А. В. Романоского и теорему 1.3, являющеюся обобщением теоремы Б. Хупперта.

Список использванных источников

1. Монахов В.С. О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса .// Математические заметки.-1974.-Т.16, №2-с. 285-295

2. Монахов В.С. Произведение разрешимой и циклической групп// Сб. VI всес. симпозиум по теории групп.-Киев: Наукова думка, 1980-с.189-195

3. Монахов В.С. О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2// Весцi АН Беларусi. сер. фiз.-мат. навук.-1996, №3-с.21-24

Еще из раздела Математика:

• Реферат: В поисках системы мира. Первые астрономы и их системы
• Доклад: О нелинейной динамике
• Дипломная работа: Дроби
• Контрольная работа: Теория вероятности и математическая статистика
• Дипломная работа: Философия математики
• Курсовая работа: Теорема Гурвица и ее приложение
• Дипломная работа: Методы приближённого решения матричных игр

---