ВВЕДЕНИЕ

Среди математических задач выделяется класс задач, решения которых неустойчивы к малым изменениям исходных данных. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. Задачи подобного типа, по существу, являются плохо поставленными. Они принадлежат к классу некорректно поставленных задач.

            Быстро растущее использование вычислительной техники требует развития вычислительных алгоритмов для решения широких классов задач. Но что надо понимать под «решением» задачи? Каким требованиям должны удовлетворять алгоритмы нахождения « решений »?

            Классические концепции и постановки задач не отражают многих особенностей встречающихся на практике задач. Мы покажем это на примере.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

                                                 Az=u,                                                 

где z — искомый вектор, и — известный вектор, А ={a_ij} — квадратная матрица с элементами a_ij.

Если система  невырожденная, т. е. detA ¹ 0, то она имеет единственное решение, которое можно найти по известным формулам Крамера или другими способами.

Если система  вырожденная, то она имеет решение (притом не единственное) лишь при выполнении условий разрешимости, состоящих из равенств нулю со- ответствующих определителей.

Таким образом, прежде чем решить систему, надо проверить, вырожденная она или нет. Для этого требуется вычислить определитель системы detA.

Если п — порядок системы, то для вычисления detА требуется выполнить около п³ операций. С какой бы точностью мы ни производили вычисления, при достаточно большом значении п, вследствие накопления ошибок вычисления, мы можем получить значение detА, как угодно отличающееся от истинного. Поэтому желательно иметь (построить) такие алгоритмы нахождения решения системы, которые не требуют предварительного выяснения вырожденности или невырожденности системы.

Кроме того, в практических задачах часто правая часть u и элементы матрицы А,

 т. е. коэффициенты системы уравнений, известны нам приближенно. В этих случаях вместо системы, мы имеем дело с некоторой другой системой  A¹z=u¹ такой, что

||А¹— А||<=h, ||u¹-u||<=d, где смысл норм обычно определяется характером задачи. Имея вместо матрицы А матрицу А¹, мы тем более не можем высказать определенного суждения о вырожденности или невырожденности системы.

В этих случаях о точной системе Az = и нам известно лишь то, что для матрицы А и правой части и выполняются неравенства || А¹—А || <= h и || и¹—и|| <=d. Но систем с такими исходными данными (А, и) бесконечно много, и в рамках известного нам уровня погрешности они неразличимы. Среди таких «возможных точных систем» могут быть и вырожденные.

Поскольку вместо точной системы  мы имеем приближенную систему A¹z=и¹, то речь может идти лишь о нахождении приближенного решения. Но приближенная система может быть и неразрешимой. Возникает вопрос: что надо понимать под приближенным решением системы? Оно должно быть также устойчивым к малым изменениям исходных данных (А, и).               

            В данной работе будет введено понятие приближенного решения некорректно поставленных задач, а также будет рассмотрено несколько методов нахождения таких решений.

1.   ПОНЯТИЕ КОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ И НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

    1.1. Различают корректно поставленные, и некорректно поставленные задачи. Понятие корректной постановки задач математической физики было введено

Ж. Адамаром в связи с желанием выяснить, какие типы граничных условий наиболее естественны для различных типов дифференциальных уравнений (для эллиптических, например,— задача Дирихле и ей аналогичные, для гиперболических — задача Коши).

Решение всякой количественной задачи обычно заключается в нахождении «решения» z по заданным «исходным данным» и, z=R(u). Мы будем считать их эле- ментами метрических пространств F и U с расстояниями между элементами ;  u₁, u₂ÎU; z₁,z₂ÎF. Метрика обычно определяется постановкой задачи.

1.2. Пусть определено понятие «решения» и каждому элементу иÎU отвечает единственное решение z=R(u) из пространства F.

Задача определения решения z=R(u) из простран­ства F по исходным данным

иÎU называется устойчивой на пространствах (F, U), если для любого числа e > О можно указать такое число d (e) > 0, что из неравенства r_U(u₁,u₂)<= d (e)  следует r_F(z_1,z₂)<= e, где z₁=R(u₁), z₂=R(u₂);  u₁,u₂ÎU; z₁,z₂ÎF.

Задача определения решения z из пространства F по «исходным данным» и из пространства U называется корректно поставленной на паре метрических прост­ранств (F, U), если удовлетворяются требования (усло­вия):

1) для всякого элемента и ÎU существует решение z из пространства F,

2) решение определяется однозначно;    

3) задача устойчива на пространствах (F, U). В математической литературе длительное время су­ществовала точка зрения, согласно которой всякая ма­тематическая задача должна удовлетворять этим требо­ваниям .

Задачи, не удовлетворяющие перечисленным требова­ниям, называются некорректно поставленными.

Следует отметить, что определение некорректно по­ставленных задач относится к данной паре метри­ческих пространств (F, U), так как в других метриках та же задача может быть корректно поставленной .

1.3. Задача нахождения приближенного решения не­корректно поставленной задачи вида

                                                      Az = и,   иÎ U,                                                        (1; 3,1)

в естественном классе элементов F является практически недоопределенной. Эта задача является некорректно поставленной, например, в случаях, когда А — вполне непрерывный оператор. Тогда обрат­ный ему оператор A^-1 вообще говоря, не будет непрерывным на U и решение уравнения (1; 3,1) не будет устойчивым к малым изменениям правой части и (в метрике пространства U). Исход­ными данными здесь являются правая часть уравнения u и оператор А.

Предположим, что оператор А нам известен точно, а правая часть уравнения (1; 3,1) известна с точностью d, т. е. вместо ее точного значения u_T нам известны элемент и¹ и число d такие, что r_U(u_T,u¹)<= d. По этим данным, т. е. по (u¹, d), требуется найти такой элемент z_d , ко­торый стремился бы (в метрике F) к z_T при d®0. Та­кой элемент мы будем называть приближенным (к z_T) решением уравнения Az = и¹.

Элементы zÎF, удовлетворяющие условию r_U(Az, и¹)<= d, будем называть сопоставимыми по точности с ис­ходными данными (и¹, d). Пусть Q_d—совокупность всех таких элементов z ÎF. Естественно приближенные ре­шения уравнения Az=и¹ искать в классе Q_d элементов z , сопоставимых по точности с исходными данными

(и¹, d ).

            Однако в ряде случаев этот класс элементов слишком широк. Среди этих элементов есть такие, которые могут сильно отличаться друг от друга ( в метрике пространства F ). Поэтому не все элементы класса Q_d можно брать в качестве приближенного решения уравнения (1;3,1).

2.   МЕТОД ПОДБОРА. КВАЗИРЕШЕНИЯ

Возможность определения приближенных решений некорректно поставленных задач, устойчивых к малым изменениям исходных данных, основывается на исполь­зовании дополнительной информации относительно реше­ния. Возможны различные типы дополнительной инфор­мации.

В первой категории случаев дополнительная инфор­мация, носящая количественный характер, позволяет сузить класс возможных решений, например, до ком­пактного множества, и задача становится устойчивой к малым изменениям исходных данных. Во второй катего­рии случаев для нахождения приближенных решений, устойчивых к малым изменениям исходных данных, ис­пользуется лишь качественная информация о решения (например, информация о характере его гладкости).

В настоящей главе будет рассмотрен метод подбора, имеющий широкое практическое применение, метод квазирешения, а также метод замены исходного уравне­ния близким ему и метод квазиобращения. В качестве некорректно поставленной задачи мы будем рассматри­вать задачу решения уравнения

                                                  Az=u                                                              (2; 0,1)

относительно z, где uÎU, zÎF, U и F—метрические пространства. Оператор А отображает F на U. Предпо­лагается, что существует обратный оператор А^-1, но он не является, вообще говоря, непрерывным.

Уравнение (2; 0,1) с оператором А, обладающим ука­занными свойствами, будем называть операторным урав­нением первого рода, или, короче,— уравнением пер­вого рода.

2.1. Метод подбора решения некорректно поставленных задач

2.1.1. Широко распространенным в вычислительной практике способом приближенного решения уравнения (2; 0,1) является метод подбора. Он состоит в том, что для элементов z некоторого заранее заданного подклас­са возможных решений М (МÎF) вычисляется опера­тор Az, т. е. решается прямая задача. В качестве при­ближенного решения берется такой элемент z₀ из мно­жества М, на котором невязка r_U(Az,u) достигает мини­мума, т. е.

                                                r_U(Az₀,u)=inf r_U(Az,u)

                                                                 zÎM

Пусть правая часть уравнения (2;0,1) известна точ­но, т. е. и=u_T, и требуется найти его решение z_T. Обычно в качестве М берется множество элементов z, зависящих от конечного числа параметров, меняющихся в ограниченных пределах так, чтобы М было замкнутым множеством конечномерного пространства. Если искомое точное решение z_T уравнения (2; 0,1) принадлежит мно­жеству М, то  и достигается эта нижняя граница на точном решении z_T. Если уравнение (2;0,1) имеет единственное решение, то элемент z₀, минимизирующий r_U(Az,и), определен однозначно.

Практически минимизация невязки r_U(Az,и) произ­водится приближенно и возникает следующий важный вопрос об эффективности метода подбора, т. е. о возмож­ности как угодно приблизиться к искомому точному ре­шению.

Пусть {z_n} — последовательность элементов, для ко­торой r_U(Az_n,u) ®0 при n®¥. При каких условиях можно утверждать, что при этом и r_F(z_n,z_T) ®0, т. е. что {z_n} сходится к z_T?

Это вопрос обоснования эффективности метода подбора.

2.1.2. Стремление обосновать успешность метода подбора привело к установлению общефункциональных требова­ний, ограничивающих класс возможных решений М, при которых метод подбора является устойчивым и z_n®z_T. Эти требования заключаются в компактности мно­жества М и основываются на приводимой ниже извест­ной топологической лемме.

          Лемма. Пусть метрическое пространство F отобра­жается на метрическое пространство U и Uo — образ мно­жества Fo, FoÌ F, при этом отображении. Если отобра­жение F®U непрерывно, взаимно однозначно и множест­во Fo компактно на F, то обратное отображение Uo®Fo множества Uo на множество Fo также непрерывно по мет­рике пространства F.

      Доказательство. Пусть z — элементы множества F (zÎF), а u—элементы множества U (uÎU). Пусть функция u=j(z) осуществляет прямое отображение F®U, а функция z=y(u)—обратное отображение U®F.

Возьмем произвольный элемент u₀ из Uo. Покажем, что функция y(u) непрерывна на u₀. Предположим, что это неверно. Тогда существует такое число e₁ > 0, что для всякого d > 0 найдется элемент и¹ из Uo, для которого r_U(и¹, и₀) <d, в то время как r_F(z¹,z₀)>= e₁. Здесь z=y(u¹), z₀=y(u₀)  и  z¹ÎFo, z₀ÎF₀.

Возьмем последовательность {d_n} положительных чи­сел d_n , сходящуюся к нулю при п®¥. Для каждого d_n найдется элемент u_n¹ из Uo, для которого r_U(и_n¹, и₀)< d_n , но r_F(z_n¹,z₀)>= e₁ , где z_n¹=y(u_n¹). Очевидно, последова­тельность {u_n¹} сходится к элементу u₀. Так как z_n¹ при­надлежат компактному на F множеству Fo, то из после­довательности {z_n¹} можно выбрать подпоследовательность {Z¹n_k}, сходящуюся по метрике F к некоторому элементу z₀ ÎF. При этом z₀¹¹z₀ , так как для всякого n_k r_F(Z¹n_k,z₀)>= e₁ , следовательно и r_F(z¹₀,z₀)>= e₁ . Этой подпоследовательности {Z¹n_k} отвечает последователь­ность элементов u¹n_k= j (Z¹n_k) из Uo, сходящаяся к u¹₀= j(z¹₀) и являющаяся подпоследовательностью по­следовательности {u¹_n}. Так как последовательность  {u¹_n} сходится к и₀ =j(z₀), то u¹₀=j(z¹₀)=u₀=j(z₀) , т. е. j(z₀)= j(z¹₀). В силу взаимной однозначности отоб­ражения F®U z¹₀=z₀, что противоречит ранее установ­ленному неравенству z¹₀¹z₀. Лемма доказана.

 Эту лемму можно сформулировать короче.

Если отображение FoàUo компакта Fo на множество Uo взаимно однозначно и непрерывно, то обратное отобра­жение UoàFo также непрерывно.

Эквивалентность этих формулировок следует из того, что замыкание F^*₀ множества Fo, компактного на F, явля­ется компактом.

Таким образом, минимизирующая последовательность {z_n} в методе подбора сходится к z_T  при nà¥, если:

а)z_T принадлежит классу возможных решений М;

б) множество М — компакт.

Пусть оператор А непрерывен и вместо точной правой части u_T мы имеем элемент u_d такой, что r_U(u_d,u_T )<= d, причем u_d  принадлежит множеству AM (образу множест­ва М при отображении его с помощью оператора A) и М есть компакт. Пусть {d_n} — последовательность поло­жительных чисел таких, что d_n à0 при nàоо. Для каж­дого п методом подбора можно найти такой элемент z^d_n , что r_U(A z^d_n ,u_d)<=d_n . Элементы z^d_n будут близки к ре­шению z_T уравнения Az=u_T. В самом деле, при отобра­жении с помощью непрерывного оператора образ AM компакта М есть компакт и, следовательно, по лемме обратное отображение, осуществляемое оператором A^-1, непрерывно на AM. Так как

                r_U(A z^d_n ,u)<= r_U(A z_n ,u_d)+r_U(u_d,u_T),

то

                r_U(A z^d_n ,u_T)<=d_n+d=g^d_n.

Из этого неравенства и из непрерывности обратного отображения АМ à М следует, что r_F(z^d_n ,z_T)<= e( g^d_n) , причем e( g^d_n)à0 при g^d_nà0. Таким образом, при нахож­дении приближения z^d_n к z_T надо учитывать уровень по­грешности d правой части u_d.

2.1.3. На основе изложенных соображений М. М. Лав­рентьев сформулировал  понятие корректности по Тихонову. В применении к уравнению (2; 0,1) задача на­зывается корректной по Тихонову, если известно, что для точного значения u=u_T существует единственное реше­ние z_T уравнения (2; 0,1), Az_T=u_T, принадлежащее за­данному компакту М.  В этом случае оператор А^-1 непре­рывен на множестве N=AM и, если вместо элемента u_T нам известен элемент u_d такой, что r_U( u_T, u_d)<=d и u_dÎN, то в качестве приближенного решения уравнения (2; 0,1) с правой частью u= u_d можно взять элемент z_d=A^-1u_d .  При dà0 (u_dÎN) z_d будет стремиться к z_T. Множество F₁ (F₁ Ì F), на котором задача нахождения решения уравнения (2; 0,1) является корректно постав­ленной, называют классом корректности. Так, если опера­тор А непрерывен и осуществляет взаимно однозначное отображение, то компакт М, к которому принадлежит z_T, является классом корректности для уравнения (2; 0,1). Таким образом, если задача (2; 0,1) корректна по Тихо­нову и правая часть уравнения uÎAM, то метод подбора с успехом может быть применен к решению такой задачи. На первый вопрос дан исчерпывающий ответ.

Рассмотрим задачу решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода

                                    (2;1,1)

на множестве М₁ монотонно убывающих (возрастающих) и равномерно ограниченных функций |z(s)|<=B. Она корректна по Тихонову, так как множество M₁ — компакт в пространстве L₂.

Действительно, возьмем любую последовательность E= {z₁(s), z₂(s), .... z_n(s), ...} из M₁. Согласно теореме Хелли о выборе существуют подпоследовательность

                                        E₁ = {Zn₁ (s), Zn₂ (s), ..., Zn_k (s), ...},

последовательности Е и функция z*(s) из множества M₁, z*(s) ÎL₂, такие, что

всюду, кроме, может быть, счетного множества точек разрыва функции z*(s). Из поточечной сходимости под­последовательности Е₁ к функции z*(s) всюду, кроме, может быть, счетного множества точек, следует, как известно, сходимость подпоследовательности E₁ к функ­ции z*(s) по метрике L₂.

Таким образом, в качестве приближенного решения на множестве М₁ уравнения (2; 1,1) с приближенно извест­ной правой частью u¹ Î АМ₁ можно брать точное решение этого уравнения с правой частью u=u¹ . Эта послед­няя задача эквивалентна задаче нахожде­ния на множестве M₁ функции, минимизирующей функ­ционал

                                      N[z,u¹]=|| A₁z – u¹ ||²_L2 .

Пусть r_U(u_T, u¹)<= d. Тогда, очевидно, в качестве при­ближенного решения уравнения (2; 1,1) можно брать функцию z_d, для которой

            || A₁z_d – u¹ ||²_L2<= d² .                                                                (2;1,2)

Если заменить интегральный оператор A₁z интеграль­ной суммой на фиксированной сетке с n узлами и обозна­чить значения искомой функции в узловых точках через z_i , то задача построения приближенного решения уравне­ния (2; 1,1) сведется к задаче нахождения конечномер­ного вектора, минимизирующего функционал N[z,и¹] и удовлетворяющего неравенству (2; 1,2).

В ряде других случаев компактные классы коррект­ности можно указать эффективно, что дает возможность строить устойчивые приближенные решения.

2.1.4. В силу погрешности исходных данных элемент и может не принадлежать множеству AM. В этих условиях уравнение (2; 0,1) не имеет решения (классического) и возникает вопрос: что надо понимать под приближенным решением уравнения (2; 0,1)?

В этом случае вводится понятие квазирешения и метод подбора при условии компактности множества М позво­ляет найти приближение к квазирешению. В следующем параграфе вопрос о квазирешении рассматривается под­робнее.

2.2. Квазирешения

2.2.1.  Пусть оператор А в уравнении (2; 0,1) — вполне непрерывный. Построение устойчивого к малым измене­ниям правой части и приближенного решения уравнения (2; 0,1) по формуле

                                                                 z=A^-1u                (2; 2,1)

возможно в тех случаях, как отмечалось в 2.1. , когда ре­шение ищется на компакте МÌF и правая часть уравне­ния принадлежит множеству N = AM.

Обычно не существует эффективных критериев, поз­воляющих установить принадлежность элемента и множеству N. Это приходится предполагать известным априори. В практических задачах часто вместо точного значения правой части и_T нам известно ее приближенное значение u¹, которое может не принадлежать множеству N=AM. В этих случаях нельзя строить приближенное решение уравнения (2; 0,1) по формуле (2; 2,1), так как сим­вол А^-1u может не иметь смысла.

2.2.2. Стремление устранить затруднения, связанные с от­сутствием решения уравнения (2; 0,1) при неточной правой части, привело В. К. Иванова  к понятию квазирешения уравнения (2; 0,1) — обобщению понятия решения этого уравнения.

Элемент z¹ÎМ, минимизирующий при данном и функ­ционал r_U(Az¹,и) на множестве М, называется квазиреше­нием уравнения (2; 0,1) на М,

Если М — компакт, то квазирешение, очевидно, существу­ет для любого иÎU и если, кроме того, иÎAM, то ква­зирешение z¹ совпадает с обычным (точным) решением уравнения (2; 0,1). Квазирешение может быть и не одно. В этом случае под квазирешенпем будем разуметь любой элемент из множества квазирешений D.

Можно указать достаточные условия, при которых квазирешение единственно и непрерывно зависит от пра­вой части и.

Напомним определение. Пусть элемент у и множество Q принадлежат пространству U. Элемент q множества Q называется проекцией элемента у на множество Q, q=Ру, если выполняется равенство

Теорема 1. Если уравнение Аz=u может иметь на компакте М не более одного решения и проекция каждого элемента uÎU на множество N = AM единственна, то квазирешение уравнения (2; 0,1) единственно и непре­рывно зависит от правой части u.

Доказательство. Пусть z¹ — квазирешение и и¹=Аz¹. Очевидно, и¹ есть проекция элемента u на множе­ство N = AM. По условию теоремы она определяется од­нозначно. Отсюда, в силу взаимной однозначности ото­бражения множества М на множество N, следует един­ственность квазирешения z¹.

Очевидно, что z¹ = А^-1u=А^-1Ри. Согласно лемме о непрерывности обратного отображения компакта (см. предыдущий параграф) оператор А^-1 непрерывен на N. Оператор проектирования Р непрерывен на U. Поэтому А^-1P — непрерывный на U оператор и, следовательно, квазирешение z¹ непрерывно зависит от правой части и.

Таким образом, при переходе к квазирешению восста­навливаются все условия корректности, т. е. задача на­хождения квазирешения уравнения (2; 0,1) на компакте М является корректно поставленной.

Если условие единственности решения уравнения (2; 0,1) не выполнено, то квазирешения образуют некото­рое множество D элементов компакта М. В этом случае без упомянутых в теореме 1 ограничений на множество N имеет место непрерывная зависимость множества квази­решений D от и в смысле непрерывности многозначных отображений. Для случая, когда уравнение (2; 0,1) линейно, легко получить более общие результаты, содержащиеся в сле­дующей теореме .

Теорема 2. Пусть уравнение (2; 0,1) линейно, одно­родное уравнение Az=0 имеет только нулевое решение, множество М выпукло, а всякая сфера в пространстве U строго выпукла. Тогда квазирешение уравнения (2; 0,1) на компакте М единственно и непрерывно зависит от пра­вой части и.

Доказательство. Пусть  z¹ — квазирешение и u¹=Az¹. Так как множество М выпукло, то в силу линей­ности оператора А множество N=AM также выпукло. Очевидно, что и¹ есть проекция элемента и на множество N. В силу того, что сфера в пространстве U по условию теоремы строго выпукла, проекция и определяется одно­значно. Далее доказательство завершается, как в тео­реме 1.

2.2.3. Пусть F и U — гильбертовы пространства, МÎS_R — шар (|| z ||<=R ) в пространстве F и А — вполне непре­рывный линейный оператор.

В этом случае квазирешение уравнения (2; 0,1) мож­но представить в виде ряда по собственным элементам (функциям, векторам) j_n оператора А*А, где А* — опе­ратор, сопряженный оператору А.

Известно, что А*А — самосопряженный положитель­ный вполне непрерывный оператор из F в F. Пусть l₁>=l₂>=…>=l_n>=… — полная система его собственных значений, a j₁, j₂,…, j_n,…—отвечающая им полная ортонормированная система его собственных элементов (функций, векторов). Элемент А*и можно представить в виде ряда

                                                                                 (2;2,2)

В этих условиях справедлива

Теорема 3. Квазирешение уравнения (2, 0,1) на множестве S_R выражается формулами:

                                                                          (2;2,3)

если

                                                                                          (2;2,4)

и

если

                                                                                     (2;2,5)

Здесь b — корень уравнения

                                                                      (2;2,6)   

Доказательство. Квазирсшение минимизирует функционал

                                         r_U² (Az, u) == (Az — u, Az — u)                           (2;2,7)

(где (v,w ) — скалярное произведение элементов v и w из U), уравнение Эйлера для которого имеет вид

                                         A*Az=A*u.                                                             (2;2,8)

Решение этого уравнения будем искать в виде ряда по системе {j_n}:

                                                                              (2;2,9)      

Подставляя этот ряд в уравнение (2; 2,8) и используя разложение (2;2,2), находим с_n=b_n/l_n. Следователь­но, неравенство (2; 2,4) означает, что ||z||<R и речь идет о нахождении безусловного экстремума функциона­ла (2; 2,7). Ряд (2; 2,3) и будет решением задачи.

Если же выполняется неравенство (2; 2,5), то это означает, что ||z||>=R и надо решать задачу на услов­ные экстремум функционала (2; 2,7) при условии, что || z ||² = R².  Методом неопределенных множителей Лагранжа эта задача сводится к нахождению безусловного экстремума функционала

(Аz-u, Аz-u) + b (z, z),

а последняя — к решению отвечающего ему уравнения Эйлера A*Az+bz=А*и. Подставляя сюда z в виде ряда (2; 2,9) и используя разложение (2; 2,2), находим

Параметр b определяем из условия || z ||² = R² , которое эквивалентно (2; 2,6).

2.3. Приближенное нахождение квазирешений

В предыдущем параграфе мы видели, что нахождение квазирешения связано с нахождением элемента в беско­нечномерном пространстве. Для приближенного нахожде­ния квазирешения естественно переходить к конечномер­ному пространству. Можно указать достаточно общий под­ход к приближенному нахождению квазирешений урав­нения (2; 0,1) , в котором А—вполне непре­рывный оператор.

Будем полагать, что выполнены указанные в  2.2. дос­таточные условия существования единственного квазире­шения на заданном множестве М, т. е. полагаем, что множество М — выпуклый компакт и сфера в пространст­ве U строго выпукла. Пусть

                                M₁ Ì M₂ Ì...Ì M_n Ì...

— возрастающая цепочка компактных замкнутых множеств М_n такая, что замыкание их объединения  совпадает с М. Квазирешение уравнения (2; 0,1) сущест­вует на каждом множестве М_n . Но оно может быть не единственным. Обозначим через Т_n совокупность всех квазирешений на множестве М_n .

Покажем, что в качестве приближения к квазиреше­нию z¹ на множестве М можно брать любой элемент z¹_n из Т_n .  При этом

Пусть N_n = АМ_n и В_n — множество проекций элемен­та и на множество N_n . Очевидно, что В_n = АТ_n  и N₁ Í N₂ Í …Í N_n; тогда

            r _U(u,N₁)>= …>=r _U (u,N_n)>=… r _U (u,N)= r _U (u,Az¹) .                         (2;3,1)

Так как множество всюду плотно на N, то для всякого e >0 найдется такое число n₀(e), что для всех п >n₀(e)                                     

                      r_U(u,N_n)< r_U(u,N)+ e                                 (2; 3,2)

Из (2; 3,1) и (2; 3,2) следует, что

                                            (2;3,3)

                                                                                                                     (2;3,4)    

Каждое множество В_n есть компакт, так как оно является замкнутым подмножеством компакта N_n. Поэтому в В_n  найдется такой элемент у_n , что

r_U(y_n ,u) = inf r_U(y,u)

                  yÎB_n

Последовательность {y_n} имеет хотя бы одну пре­дельную точку, принадлежащую N, так как N — компакт. Пусть у₀ — какая-нибудь предельная точка множества {y_n} и {уn_k} — подпоследовательность, сходящаяся к y₀ , т. е.

Из (2; 3,3) и (2; 3,4) следует, что

Таким образом,

r_U(u,y₀)= r_U(u,N).

Отсюда и из единственности квазирешения на множестве М следует, что

y₀=Az¹.

Так как у₀ — произвольная предельная точка множества {y_n}, то последовательность {у_n} сходится к Аz¹. Это и означает, что в качестве приближения к квазирешению мож­но брать любой элемент z¹_n из множества Т_п , так как в силу леммы параграфа 2.1. z¹_nàz* при nà¥.

Если в качестве М_п брать конечномерные (n-мерные) множества, то задача нахождения приближенного квази­решения на компакте М сводится к минимизации функ­ционала r_U(Az, u) на множестве М_п , т. е. к нахождению минимума функции п переменных.

2.4. Замена уравнения Аz=u близким ему

Уравнения вида (2; 0,1), в которых правая часть u не принадлежит множеству N=AM, изучались М. М. Лав­рентьевым . Ему принадлежит идея замены исходного уравнения (2; 0,1) близким ему, в некотором смысле, уравнением, для которого задача нахождения решения устойчива к малым изменениям правой части и разрешима для любой правой части u ÎU. В простей­шем случае это делается следующим образом.

Пусть F ºU ºН — гильбертовы пространства, А — линейный, ограниченный, положительный и самосопря­женный оператор, S_R º {х, ||x||<=R, xÎF} есть шар радиуса R в пространстве F, В — вполне непрерывный оператор, определенный на S_R при любом R > 0. В ка­честве класса корректности М берется множество D_R=BS_R — образ шара S_R при отображении с помощью оператора В. Предполагается, что искомое точное решение z_T уравнения (2; 0,1) с правой частью u=u_T существует и принадлежит множеству D_R. Уравнение (2; 0,1) заме­няется уравнением

                               (A+aE)z º Az+az=u ,                                         (2:4,1)

где a>0 – числовой параметр. Решение уравнения

                                   z_a=(A+aE)^-1u ,                                                  (2; 4,2)

при соответствующем выборе параметра a, принимается за приближенное решение уравнения (2; 0,1). Здесь Е — единичный оператор.

Замечание. Для оценки уклонения r_F(z_T,z_d) приближенного решения от точного можно использовать мо­дуль непрерывности w обратного оператора на N.

Пусть u₁, u₂ Î N  и  r_U(u₁,u₂)<= d. Тогда

            w(d,N)= sup  r_F(A^-1u₁,A^-1u₂).

                                             u₁,u₂ ÎN

Очевидно, что если r_U(u_T,u_d)<= d  и  z_d=A^-1u_d , то

                                                         r_F(z_T,z_d)<=w(d,N).

Вернемся к уравнению (2; 4,1). Если || Az ||<=d и w(d,D_R) = sup || z ||,   то легко

                                                                                                                  D_R

получить оценку уклонения  z_a от z_T. Очевидно, что

                  || z_a - z_T  ||<=||z_a¹ - z_T|| + ||z_a - z_a¹||,                                      (2;4,3)

где

z_a¹=(A + aE)^-1u_T.

Следовательно,

||z_a - z_T||<=w(d,D_R) + d/a.                              (2;4,4)

Если известен модуль непрерывности w(d,D_R) или его мажоранта, то из (2; 4,4) можно найти значение пара­метра  w как функцию d, при котором правая часть в не­равенстве (2; 4,4) будет минимальной.

2. 5. Метод квазиобращения

2.5.1. Известно, что задача Коши для уравнения тепло­проводности с обратным течением времени является не­устойчивой к малым изменениям начальных значений. Неустойчивость сохраняется и в случаях, когда решение подчиняется некоторым дополнительным граничным усло­виям. Для устойчивого решения таких задач разработан метод квазиобращения . Мы изложим существо его для простейшего уравнения теплопроводности, не вда­ваясь в вопросы обоснования. Подробное изложение в применении к более широкому классу задач содержится в .

2.5.2. Рассмотрим прямую задачу. Пусть D — конечная область n-мерного евклидова пространства Rⁿ точек x = (x₁, x₂, ..., x_n), ограниченная кусочно-гладкой по­верхностью S, a t — время. Пусть, далее, j(x) — заданная непрерывная в D функция. Прямая задача состоит в на­хождении решения u=u(x,t) уравнения

                                                                   (2;5,1)

в области G º {x Î D, t > 0}, удовлетворяющего гранич­ным условиям

u(х, t) =0 при xÎS                                                     (2; 5,2)

и начальным условиям

u(x, 0)= j(x).                                                             (2; 5,3)

 Здесь

Известно, что решение такой задачи существует. Каждой функции j(x)ÎC  отвечает решение задачи (2; 5,1)— (2; 5,3). Будем обозначать его через u(х, t; j).

Обратная задача состоит в нахождении функции j(х) по известной функции u(х,t; j). В реальных задачах функция u(x,t;j) обычно получается в результате изме­рений и, следовательно, известна приближенно. Будем по­лагать, что uÎL₂. Такая функция может и не соответст­вовать никакой «начальной» функции j(х). Таким обра­зом, может не существовать в классе функций С решения обратной задачи. Поэтому будем рассматривать задачу нахождения некоторого обобщенного решения обратной задачи.

Пусть заданы число T > 0 и функция y(x), опреде­ленная в области D, y(x) ÎL₂. На функциях  j(х) класса С определен функционал

Обобщенным решением обратной задачи будем называть функцию j(х)., на которой достигается

                                                              f₀=inf f(j)

        jÎC

Замечание. «Естественный» подход к решению этой задачи — выбрать функцию j(х).так, чтобы f(j)=0            .

Для этого достаточно найти решение прямой задачи

u(x, t) = 0 для х Î S,  0 < t < T;

u(x,T) = y(x)

и положить j (x) = u(x,0). Но такая задача при задан­ной функции y(x) из L₂, вообще говоря, неразрешима и, кроме того, неустойчива к малым изменениям функ­ции y(x).

На некотором классе обобщенных функций j (x) f₀=0 . Поэтому рассматривается задача на­хождения приближенного значения f₀ с заданным уровнем погрешности.

Для заданного числа e > 0 найти функцию j_e(x), на которой f (j_e)<=e.

Эта задача и решается методом квазиобращения.

Идея метода квазиобращения состоит в том, что вмес­то оператора теплопроводности   находится «близ­кий» ему оператор В_a , для которого задача с обращением отсчета времени

B_au_a = 0, x Î D, t < Т, a > 0;

u_a (x,T)= y(x);

u_a (x,t) = 0 для xÎ  S, t< Т

устойчива. Решив эту задачу, полагают j (x)=u_a(x,0). Обычно в качестве оператора В_a берут оператор  и решают прямую задачу

xÎ D,          t<T,          a>0;

                                                        u_a (x,T)= y(x);

                      u_a (x,t) = 0 для xÎ  S,  0< t<= Т

                       Du_a=0    для xÎ  S,  0< t<= Т.

Затем полагают

                                    j (x)=u_a(x,0).

Следует отметить, что u_aне сходится в обычном смыс­ле при a à0.

3.МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ

В главе предыдущем разделе рассмотрены случаи, когда класс возможных решений уравнения (2; 0,1) является компактом. Однако для ряда прикладных задач характерна ситуация, когда этот класс F не является компактом, и, кроме того, изме­нения правой части уравнения

                                                         Аz= u,                                               (3; 0,1)

связанные с ее приближенным характером, могут выво­дить за пределы множества AF — образа множества F при отображении его с помощью оператора А. Такие задачи  называются существенно некорректными. Был разработан новый подход к решению некорректно поставленных задач, позволяющий строить приближенные решения уравнения (3; 0,1), устойчивые к малым изме­нениям исходных данных, для существенно некорректных задач. В основе этого подхода лежит фундаментальное понятие регуляризирующего оператора (P.O.) . Для упрощения изложения в настоящей главе мы будем полагать, что в уравнении (3; 0,1) приближенной может быть лишь пра­вая часть и, а оператор А известен точно.

3.1. Понятие регуляризирующего оператора

3.1.1. Пусть оператор А в уравнении (3; 0,1) таков, что обратный ему оператор

A^-1  не является непрерывным на множестве AF и множество возможных решений F не является компактом.

Пусть z_T есть решение уравнения Az =u_T, т. е. Az_T=u_T. Часто вместо u_T мы имеем некоторый элемент u_d и известное число d > 0 такие, что r_U(u_d,u_T)<= d, т. е. вместо точных исходных данных (u_T,А) мы имеем при­ближенные исходные данные (u_d, А) и оценку их погрешности d. Задача состоит в том, чтобы по известным исход­ным данным (u_d, A, d) найти приближение z_d к элементу z_t, обладающее свойством устойчивости к малым измене­ниям u_d. Очевидно, что в качестве приближенного реше­ния z_d уравнения (3; 0,1) нельзя брать точное решение этого уравнения с приближенной правой частью и= u_d, т. е. элемент z_T, определяемый по формуле

                                                         z_d=A^-1 u_d

так как оно существует не для всякого элемента u ÎU и не обладает свойством устойчивости к малым изменениям правой части и.

Числовой параметр d характеризует погрешность пра­вой части уравнения (3;0,1). Поэтому представляется естественным определить z_d с помощью оператора, зави­сящего от параметра, значения которого надо брать согла­сованными с погрешностью d исходных данных u_d . Эта согласованность должна быть такой, чтобы при dà0, т. е. при приближении (в метрике пространства U) правой части u_d уравнения (3; 0,1) к точному значению u_T, при­ближенное решение z_d стремилось бы (в метрике прост­ранства F) к искомому точному решению z_t уравнения Az_T =u_T.

Пусть элементы z_T Î F и  u_T Î U связаны соотношением Az_T = u_T.

Определение 1. Оператор R(и, d), действующий из пространства U в пространство F, называется регуля-ризирующим для уравнения Az = и (относительно эле­мента u_T), если он обладает свойствами:

1) существует такое число d1 > 0, что оператор R(u, d) определен для всякого d, 0<=d<=d1, и любого u_dÎU такого, что

                                      r_U(u_d,u_T)<= d;

2) для всякого e > 0 существует d0=d0(e, u_d)<=d1 такое, что из неравенства

                                    r_U(u_d,u_T)<= d<=  d0;

следует неравенство

r_F(z_d,z_T)<= e,

 где

z_d=R(u_d,d).

Здесь не предполагается, вообще говоря, однозначность оператора R(u,d). Через z_d обозначается произвольный элемент из множества {R(u_d,d)} значений оператора R(u_d,d).

3.1.2. В ряде случаев целесообразнее пользоваться другим определением регуляризирующего оператора (P.O.).

Определение 2. Оператор R(u, a), зависящий от параметра a и действующий из U в F, называется регуляризирующим для  уравнения Az=и (относительно эле­мента u_T), если он обладает свойствами:

1) существуют такие числа d1>0, a1>0, что опера­тор R(u, a ) определен для всякого a, принадлежащего промежутку (0, a1), и любого uÎU, для которого

r_U(u,u_T)<=d1;

2) существует такой функционал a=a(u, d), опреде­ленный на множестве   Ud₁º{u; r(u,u_T)<= d1} эле­ментов иÎU, что для любого e > 0 найдется число d(e)<=d1 такое, что если u¹ÎU и r_U(u¹,u_T)<= d<= d(e), то

r_F(z_a,z_T)<= e , где

z_a=R(u¹, a(u¹,d)).

В этом определении не предполагается однозначность оператора R(u¹, a(u¹,d)). Следует отметить, что при  a= d получаем определение 1 .

     3.1.3. Если r_U(u_d,u_T)<= d, то известно, что в качест­ве приближенного решения уравнения (3; 0,1) с прибли­женно известной правой частью u_d можно брать элемент z_a=R(d, a), полученный с помощью регуляризирующе­го оператора R(u, a ), где a=a(u_d)=a1(d) согласовано с погрешностью исходных данных u_d. Это решение назы­вается регуляризованным решением уравнения (3; 0,1). Числовой параметр  a называется параметром регуляриза­ции. Очевидно, что всякий регуляризирующий оператор вместе с выбором параметра регуляризации a, согласо­ванного с погрешностью исходных данных u_d , a=a(u_d), определяет устойчивый к малым изменениям правой час­ти и метод построения приближенных решений уравнения (3;0,1). Если известно, что r_U(u_d,u_T)<= d, то согласно определению регуляризирующего оператора можно так выбрать значение параметра регуляризации a=a(u_d) ,

что при dà0 регуляризованное решение R(u_d,a(u_d)) стремится (в метрике F) к искомому точному ре­шению z_T, т. е. r_F(z_T,z_a(ud)). Это и оправдывает пред­ложение брать в качестве приближенного решения урав­нения (3; 0,1) регуляризованное решение.

Таким образом, задача нахождения приближенного решения уравнения (3; 0,1), устойчивого к малым изме­нениям правой части, сводится:

а) к нахождению регуляризирующих операторов;

б) к определению параметра регуляризации a по до­полнительной информации о задаче, например, по величи­не погрешности, с которой задается правая часть u_d.

Описанный метод построения приближенных решений называется методом регуляризации.

3.2. О решении вырожденных и плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений

3.2.1. Известно, с какими трудностями связано решение так называемых плохо обусловленных систем линей­ных алгебраических уравнений: малым изменениям пра­вых частей таких систем могут отвечать большие (выхо­дящие за допустимые пределы) изменения решения.

Рассмотрим систему уравнений

                                                            Аz=u,                                                              (3; 2,1)

где А — матрица с элементами a_ij, А ={a_ij}, z — иско­мый вектор с координатами z_j , z={z_j}, и — известный вектор с координатами и_i ,u= {u_i}, i, j =1, 2, ..., п. Система (3; 2,1) называется вырожденной, если опреде­литель системы равен нулю, detA = 0. В этом случае матрица А имеет равные нулю собственные значения. У плохо обусловленных систем такого вида матрица А имеет близкие к нулю собственные значения.

Если вычисления производятся с конечной точностью, то в ряде случаев не представляется возможным уста­новить, является ли заданная система уравнений вырож­денной или плохо обусловленной. Таким образом, плохо обусловленные и вырожденные системы могут быть не­различимыми в рамках заданной точности. Очевидно, такая ситуация имеет место в случаях, когда матрица А имеет достаточно близкие к нулю собственные значения.

В практических задачах часто правая часть и и эле­менты матрицы А, т. е. коэффициенты системы (3; 2,1), известны приближенно. В этих случаях вместо системы (3;2,1) мы имеем дело с некоторой другой системой Az=и такой, что ||A-A||<=h, ||u-u||<= d, где смысл норм обычно определяется характером задачи. Имея

вместо матрицы А матрицу A, мы тем более не можем высказать определенного суждения о вырожденности или невырожденности системы (3; 2,1).

В этих случаях о точной системе Аz=u, решение которой надо определить, нам известно лишь то, что для матрицы А и правой части и выполняются неравенства

||A-A||<=h, ||u-u||<= d. Но систем с такими исходными данными (А, и) бесконечно много, и в рамках извест­ного нам уровня погрешности они неразличимы. Поскольку вместо точной системы (3; 2,1) мы имеем приближенную систему Аz= и, то речь может идти лишь о нахождении приближенного решения. Но приближенная система Аz=и может быть неразрешимой. Возникает вопрос:

что надо понимать под приближенным решением систе­мы (3; 2,1) в описанной ситуации?

Среди «возможных точных систем» могут быть и вы­рожденные. Если они разрешимы, то имеют бесконечно много решений. О приближенном нахождении какого из них должна идти речь?

Таким образом, в большом числе случаев мы должны рассматривать целый класс неразличимых между собой (в рамках заданного уровня погрешности) систем урав­нений, среди которых могут быть и вырожденные, и неразрешимые. Методы построения приближенных реше­ний систем этого класса должны быть одними и теми же, общими. Эти решения должны быть устойчивыми к малым изменениям исходных данных (3; 2,1).

В основе построения таких методов лежит идея «от­бора». Отбор можно осуществлять с помощью специальных, заранее задаваемых функционалов W[ z ] , входящих в постановку задачи.

Неотрицательный функционал W[ z ] , определенный на всюду плотном в F подмножестве F₁ множества F, называется стабилизирующим функционалом, если:

а) элемент z_T принадлежит его области определения;

б) для всякого числа d>0 множество F_1,d элементов z из F₁ , для которых

W[ z ]<=d, компактно на F.

3.2.2. Итак, рассмотрим произвольную систему линейных алгебраических уравнений (короче — СЛАУ)

Аz =u,                                            (3; 2,2)

в которой z и u—векторы, z=(z₁, z₂, ...,z_n) ÎRⁿ, и=(u₁,u₂, ...,u_n) ÎR^m, А—матрица с элементами a_ij, А = {a_ij}, где j =1, 2, ..., n; i= 1, 2, ..., т, и число п не обязано быть равным числу т.

Эта система может быть однозначно разрешимой, вы­рожденной (и иметь бесконечно много решений) и не­разрешимой.

Псевдорешением системы (3; 2,2) называют вектор z, минимизирующий невязку || Az – u || на всем пространстве Rⁿ. Система (3; 2,2) может иметь не одно псевдоре­шение. Пусть F_A есть совокупность всех ее псевдореше­ний и z¹ — некоторый фиксированный вектор из Rⁿ, оп­ределяемый обычно постановкой задачи.

Нормальным относительно вектора z¹ решением си­стемы (3;2,2) будем называть псевдорешение z⁰ с ми­нимальной нормой || z – z¹ ||, т. е. такое, что

|| z⁰ – z¹ || =

Здесь  . В дальнейшем для простоты записи будем считать z¹= 0 и нормальное относительно вектора z¹=0 решение называть просто нормальным ре­шением.

Для любой системы вида (3; 2,2)  нормальное решение существует и единст­венно.

Замечание 1. Нормальное решение z° системы (3;2,2) можно определить также как псевдорешение, минимизирующее заданную положительно определенную квадратичную форму относительно координат вектора z—z¹. Все излагаемые ниже результаты остаются при этом справедливыми.

Замечание 2. Пусть ранг матрицы А вырожден­ной системы (3; 2,1) равен r < n и z_r+1,z_r+2, … , z_n— базис линейного пространства N_A, состоящего из элемен­тов z, для которых Аz=0, N_A = {z; Аz= 0}. Решение z° системы (3; 2,1), удовлетворяющее n—r условиям ортогональности

                                 (z⁰ – z¹, z_S)= 0,   S= r + 1, r + 2, .. ,n,                      (3; 2,3)

определяется однозначно и совпадает с нормальным ре­шением.

3.2.3. Нетрудно видеть, что задача нахождения нормаль­ного решения системы (3; 2,2) является некорректно поставленной. В самом деле, пусть А — симметричная матрица. Если она невырожденная, то ортогональным преобразованием

z = Vz*, u = Vu*

ее можно привести к диагональному виду и преобразо­ванная система будет иметь вид

l_iz_i*=u_i* , i= 1, 2,. .., п,

где l_i — собственные значения матрицы А.

Если симметричная матрица А — невырожденная и имеет ранг r, то n – r  ее собственных значений равны нулю. Пусть

l_i¹0 для i=1, 2, ..., r;

и

l_i=0 для i=r+1,r+2, …, n.

Полагаем, что система (3; 2,2) разрешима. При этом u_i*= 0 для i =r + 1, ..., n.

Пусть «исходные данные» системы (А и и) заданы с погрешностью, т. е. вместо А и и заданы их прибли­жения А и u:

 || A – A ||<=h,  ||u – u||<=d . При этом           

                                                        (3;2,4)

Пусть l_i — собственные значения матрицы А. Извест­но, что они непрерывно зависят от А в норме (3; 2,4). Следовательно, собственные значения l_r+1 , l_r+2, …,l_n могут быть сколь угодно малыми при достаточно малом h.

Если они не равны нулю, то

             z_i*=.

Таким образом, найдутся возмущения системы в пре­делах любой достаточно малой погрешности А и и, для которых некоторые z_i* будут принимать любые наперед заданные значения. Это означает, что задача нахожде­ния нормального решения системы (3; 2,2) является неустойчивой.

Ниже дается описание  метода нахождения нормального   решения системы (3; 2,2), устойчивого к малым (в норме (3; 2,4)) возму­щениям правой части и , основанного на методе регуляризации.

3.3. Метод регуляризации нахождения нормального решения

3.3.1. Пусть z° есть нормальное решение системы

Аz = и.                   (3; 3,1)

Для простоты будем полагать, что прибли­женной может быть лишь правая часть, а оператор (матрица) А — точный.

Итак, пусть вместо и мы имеем вектор и, || и — и || <=d ; т. е. вместо системы (3;3,1) имеем систему