Вывод уравнения колебания в электрических проводах.

 

 

Электрический ток в проводах характеризуется величиной  и напряжением  которые зависят от координат Х точки провода и от времени t. Рассмотрим элемент провода ∆Х. Можем написать, что падение напряжения на элементе ∆Х равно

-.Это падение напряжения складывается из омического, равного  и индуктивного, равного  Итак

где R и L –сопротивление и коэффициент индуктивности рассчитанные на единицу длинны провода. Знак минус взят потому, что ток течёт в направлении, обратном возрастанию U.Сокращая на ∆Х, получим уравнение

Далее разность токов, выходящего из элемента ∆Х за время ∆t , будет

Она расходуется на зарядку элемента, равную  и на утечку через боковую поверхность провода в следствии несовершенства изоляции, равную

Здесь А- коэффициент утечки. Приравняем эти выражения

Сократим на

Уравнения (2) и (3) принято называть телеграфными уравнениями. Составим систему уравнений

Из этой системы уравнений можно получить уравнение, содержащее только искомую функцию, и уравнение, содержащее только искомую функцию .

Продифференцируем  члены уравнения (3) по Х; члены уравнения (2) продифференцируем по t и умножим их на С.

Аналогичным образом получим уравнение для определения

Если можно пренебречь утечкой через изоляцию (А=0) и сопротивлением (R=0), то уравнения (5) и (6) переходят в волновые уравнения:

Исходя из физических условий формулируются граничные и начальные условия задачи.

Навоийский Государственный горный институт

Горный факультет

Кафедра «Высшей математики»

 

 

 

 

Волновые уравнения

 

 

 

 

Подготовил: студент 2-го курса группы 20-02 ГД

Дерюга А.М.

 

 

 

 

 

Навоий 2004 г.

Еще из раздела Математика:

• Реферат: Оптические характеристики телескопа
• Реферат: Мир глазами Исаака Ньютона: пространство и время
• Реферат: Метод последовательных уступок (Теория принятия решений)
• Контрольная работа: Графическое решение уравнений
• Курсовая работа: Тригонометрические уравнения и неравенства
• Учебное пособие: Функционально-графический подход к решению задач с параметрами
• Учебное пособие: Разностные схемы для уравнений параболического типа

---