Математика: Сегнетоэлектрики, Статья

Категория: Математика
Тип: Статья

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Сегнетоэлектрики представляют собой специфический класс сред, характеризующийся высоким значением диэлектрической проницаемости (на основной кривой поляризации), нелинейностью зависимости $\vec{D}(\vec{E})$ , гистерезисом зависимостей D(E) и P(E), а также сохранением поляризованности $\vec{P}$ после отключения внешнего поля. Именно последнее свойство наиболее важно, и во многих случаях под словом "сегнетоэлектрик" подразумевается "область спонтанной поляризованности $\vec{P}(x, y z)$ ", слабо чувствительная к дополнительному наложению электрического поля.

Расчет поля сегнетоэлектриков производится следующим образом. По формулам

$\rho^{'} = -div\vec{P} {\rm или} \sigma^{'}= -P_n|_{x+0}+P_n|_{x-0}$

(50)

находится связанный заряд, а затем находится создаваемое им поле $\vec{E}$ с помощью закона Кулона, как если бы этот заряд был свободным:

$\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\int \frac{(\vec{r}_p-\vec{r}^{ '})}{|\vec{r}_p-\vec{r}^{ '}|^3} \rho^{'}{\rm d}V {\rm или} \vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot\int\frac{(\vec{r}_p-\vec{r}^{ '})}{|\vec{r}_p-\vec{r}^{ '}|^3} \sigma^{'}{\rm d}S$

(51)

Если есть выраженная симметрия, то возможно и применение теоремы Гаусса в виде $\int\varepsilon_0\vec{E}\cdot{\rm d}\vec{S} = \rho^{'}$ . Мотивацией такого метода является уравнение Максвелла $div(\varepsilon_0\vec{E}) = -div\vec{P} = \rho^{'}$ .

При наличии, помимо сегнетоэлектриков, еще и сторонних зарядов поле последних суммируется с полем сегнетоэлектриков.

Для нахождения смещения $\vec{D}$ привлекается соотношение

$\vec{D} = \varepsilon_0\vec{E} + \vec{P}$

(52)

При этом никаких ε для сегнетоэлектрика вводиться не должно.

Задача. Имеется бесконечная пластина из однородного сегнетоэлектрика с поляризованностью $\vec{P}$ . Найти векторы $\vec{D}$ и $\vec{E}$ внутри и вне пластины, если вектор $\vec{P}$ направлен a) перпендикулярно, b) параллельно поверхности пластины.

Решение Разберемся прежде всего в том, какова будет $div\vec{P}$ в обоих случаях, то есть какие связанные заряды присутствуют. Для этого надо проверить, как изменяется $\vec{P}$ в направлении самого себя. В случае б) $div\vec{P}=0$ , в том числе и на границах; на них $\vec{P}$ , конечно, изменяется, но не в направлении $\vec{P}/P$ . А вот в случае а) имеет место скачок $\vec{P}$ от (до) нуля на границах как раз в направлении $\vec{P}/P$ . Соответственно, поверхностная плотность заряда равна:

σ'(a) = ± P

причем знак плюс берется для той поверхности, в сторону которой "смотрит" вектор $\vec{P}$ , по определению σ'. Как уже говорилось,

σ'(b) = 0

Следовательно, в случае а) мы имеем ситуацию, аналогичную конденсатору и получаем

$\vec{E}^{(a)} = -\varepsilon_0^{-1}\vec{P} {\rm внутри и } \vec{E}^{(a)} = \vec{0} {\rm вне пластины}$

в то время как

$\vec{E}^{(b)}=\vec{0} {\rm всюду}$

Заметим, что в случае а) ошибкой было бы записать D = σ'; теорема Гаусса применяется к вектору $\varepsilon_0\vec{E}$ .

Соответственно, по формуле $\vec{D} = \varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}$ имеем:

$\vec{D}^{(a)}$	=	$\vec{0} {\rm всюду}$
$\vec{D}^{(b)}$	=	$\vec{P} {\rm внутри и } \vec{D}^{(b)} = \vec{0} {\rm вне пластины}$

Задача. Пластина из сегнетоэлектрика с поляризованностью P, перпендикулярной поверхностям, помещена в конденсатор, обкладки которого замкнуты друг на друга. Пластина занимает η-ю часть зазора и параллельна обкладкам конденсатора. Найти E и D в пластине и в остающемся незаполненным зазоре.

Решение Если Eplate и Eair обозначают электрическое поле, соответственно, в пластине и в воздушном зазоре, то, ввиду замкнутости обкладок конденсатора друг на друга,

η Eplate +(1–η) Eair = 0

Величина D в зазоре и в пластине одна и та же, так как любой другой вариант противоречил бы условиям для нормальной компоненты D на границе пластина-воздух.

Dplate = ε0Eplate+P = Dair = ε0Eair

Из последней цепочки равенств имеем

Eair = Eplate+ε0–1P

Используя это, получаем

η Eplate +(1–η)(Eplate+ ε0–1P) = 0

откуда

Eplate = –(1–η)ε0–1P, Eair = ηε0–1P

Смещение всюду одно и то же и равно Dplate = Dair = η P.

Задача. Тонкий диск радиуса R из сегнетоэлектрического материала поляризован однородно и так, что вектор $\vec{P}$ лежит в плоскости диска. Найти $\vec{E}$ и $\vec{D}$ в центре диска, считая, что толщина диска h намного меньше, чем R.

Решение Введем систему координат так, чтобы плоскость xy была плоскостью диска, а $\vec{P} = P\vec{j}$ . Найдем связанные заряды. $div\vec{P}$ всюду равна нулю, за исключением обода диска (на круглых поверхностях диска тоже $div\vec{P}=0$ , так как там $\vec{P}$ не меняется в направлении $\vec{P}/P$ ). Поверхностный заряд составит

σ' = –Pr|R+0+Pr|R–0 = Psinφ

где φ угол в полярной системе координат, отсчитываемый от оси x, как обычно. Зная σ', можно найти поле $\vec{E}$ по закону Кулона ( $\vec{r}_p=\vec{0}$ ):

$\vec{E}$	=	$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\int \frac{(\vec{r}_p-\vec{r}^{ '})}{\|\vec{r}_p-\vec{r}^{ '}\|^3} \sigma^{'}{\rm d}S =$
	=	$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot\int\limits_{-h/2}^{h/2}\int\limits_0^{2\pi}\frac{P\sin\varphi (-R\cos\varphi \vec{i}-R\sin\varphi \vec{j}-z \vec{k})} {(R^2+z^2)^{3/2}} R{\rm d}\varphi {\rm d}z =$
	=	$-\frac{R^2\pi P\vec{j}}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\left.\frac{z}{R^2 \sqrt{R^2+z^2}}\right\|_{h/2}^{h/2}\approx -\frac{Ph\vec{j}}{4\varepsilon_0 R} = -\frac{h \vec{P}}{4\varepsilon_0R}$

При получении последнего равенства использовано условие R>> h. Обратим внимание на то, что при R→∞ $\vec{E}→ \vec{0}$ .

Смещение $\vec{D}$ найдется просто как

$\vec{D} = \varepsilon_0\vec{E}+\vec{P} = \vec{P} \cdot \left(1-\frac{h}{4R}\right)$

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r

Еще из раздела Математика:

Это интересно

Реклама

Поиск рефератов

Еще рефераты

Афоризм

"Муж мне тaк изменяет, тaк изменяет, что я дaже не знaю, от кого у меня дети..."

Гороскоп

Счётчики

Соц. сеть	Объявления	Здоровье	Рецепты	Закрыть
Погода	TV программа	Курсы валют	Каталог сайтов	Рефераты
Гороскопы	Тайна имени	Именины	Праздники	Сонник
Девушка дня	Тесты ON-Line	Игры	Анекдоты	Приколы