Информатика, программирование: Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема, Реферат


РЕФЕРАТ

По курсу “Теория информации и кодирования”

на тему:

"КОДЫ БОУЗА-ЧОУДХУРИ-ХОКВИНГЕМА"


БЧХ коды

 

Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ) – класс циклических кодов, исправляющих кратные ошибки, т. е. две и более (d0 ³ 5).

Теоретически коды БЧХ могут исправлять произвольное количество ошибок, но при этом существенно увеличивается длительность кодовой комбинации, что приводит к уменьшению скорости передачи данных и усложнению приемо-передающей аппаратуры (схем кодеров и декодеров).

Методика построения кодов БЧХ отличается от обычных циклических, в основном, выбором определяющего полинома P(х). Коды БЧХ строятся по заданной длине кодового слова n и числа исправляемых ошибок S , при этом количество информационных разрядов k не известно пока не выбран определяющий полином.

Рассмотрим процедуру кодирования с использованием кода БЧХ на конкретных примерах.

 

Пример Построить 15-разрядный код БЧХ, исправляющий две ошибки в кодовой комбинации (т. е. n = 15, S = 2).

 

Решение:

1. Определим количество контрольных m и информационных разрядов k

m £ h S .

Определим параметр h из формулы

n = 2h-1, h = log2(n+1) = log216 = 4,

 

при этом: m £ h S = 4×2 = 8; k = n-m = 15-8 = 7.

Таким образом, получили (15, 7)-код.

2. Определим параметры образующего полинома:

- количество минимальных многочленов, входящих в образующий

L = S = 2;

- порядок старшего (все минимальные - нечетные) минимального многочлена r = 2S-1 = 3;

- степень образующего многочленаb = m £ 8.

3. Выбор образующего многочлена.

Из таблицы для минимальных многочленов для кодов БЧХ (см. приложение 4) из колонки 4 (т. к. l = h = 4) выбираем два минимальных многочлена 1 и 3 (т. к. r = 3):

M1(x) = 10011;

M2(x) = 11111.

При этом

P(x) =M1(x)×M2(x)=10011´11111=111010001= x8+ x7+ x6+ x4+1.

4. Строим образующую матрицу. Записываем первую строку образующей матрицы, которая состоит из образующего полинома с предшествующими нулями, при этом общая длина кодовой комбинации равна n = 15. Остальные строки матрицы получаем в результате k-кратного циклического сдвига справа налево первой строки матрицы.

 


Строки образующей матрицы представляют собой 7 кодовых комбинаций кода БЧХ, а остальные могут быть получены путем суммирования по модулю 2 всевозможных сочетаний строк матрицы.

Процедура декодирования, обнаружения и исправления ошибок в принятой кодовой комбинации такая же, как и для циклических кодов с d0 < 5

 

Пример Построить 31-разрядный код БЧХ, исправляющий три ошибки в кодовой комбинации (т. е. n = 31, S = 3).

 

Решение:

1. Определим количество контрольных разрядов m и информационных разрядов k.

m £ h S.

Определим параметр h из формулы

n = 2h-1,h = log2(n+1) = log232 = 5,

 

при этом: m £ h S = 5×3 = 15; k = n-m = 31-15 = 16.

Таким образом, получили (31, 16)-код.

2.Определим параметры образующего полинома:

- количество минимальных многочленов, входящих в образующий

L = S = 3;

-           порядок старшего минимального многочлена

r = 3S-1 = 5;

-           степень образующего многочлена

b = m £ 15.

1.         Выбор образующего многочлена.


Из таблицы для минимальных многочленов для кодов БЧХ ( приложение 4) из колонки 5 (т. к. l = h = 5) выбираем три минимальных многочлена 1, 3 и 5 (т. к. r = 5):

M1(x) =100101;

M2(x) =111101;

M3(x) =110111.

При этом

 

P(x) = M1(x) ×M2(x) ×M3(x) =1000111110101111=

= x15+ x11 +x10+ x9+ x8+ x7+ x5+ x3 + x2+x+ 1.

4. Строим образующую матрицу. Записываем первую строку образующей матрицы, которая состоит из образующего полинома с предшествующими нулями, при этом общая длина кодовой комбинации равна n = 31. Остальные строки матрицы получаем в результате k-кратного циклического сдвига справа налево первой строки матрицы.

 

000000000000000100011111011111

 G(31,16)=000000000000001000111110111110

 . . .

100011111011111000000000000000

 Строки образующей матрицы представляют собой 16 кодовых комбинации кода БЧХ, а остальные могут быть получены путем суммирования по модулю 2 всевозможных сочетаний строк матрицы.


Декодирование кодов БЧХ

Коды БЧХ представляют собой циклические коды и, следовательно, к ним применимы любые методы декодирования циклических кодов. Открытие кодов БЧХ привело к необходимости поиска новых алгоритмов и методов реализации кодеров и декодеров. Получены существенно лучшие алгоритмы, специально разработанные для кодов БЧХ. Это алгоритмы Питерсона, Бэрлекэмпа и др.

Рассмотрим алгоритм ПГЦ (Питерсона-Горенстейна-Цирлера). Пусть БЧХ код над полем GF(q) длины n и с конструктивным расстоянием d задается порождающим полиномом g(x), который имеет среди своих корней элементы \beta^{l_0},\beta^{l_0+1},\ldots,\beta^{l_0+d-2} \quad \beta \in GF(q^m), \quad \beta^n=1, \quad l_0 — целое число (например 0 или 1). Тогда каждое кодовое слово обладает тем свойством, что c(\beta^{l_0-1+j}) = 0, \quad j=1,2,\ldots,d-1. Принятое слово r(x) можно записать как r(x) = c(x) + e(x), где e(x) — полином ошибок. Пусть произошло u \leqslant t = (d-1)/2ошибок на позициях i_1,i_2,\ldots,i_u(t максимальное число исправляемых ошибок), значит e(x) = e_{i_1}x^{i_1}+e_{i_2}x^{i_2}+\ldots+e_{i_u}x^{i_u}, а e_{i_1}, e_{i_2},\ldots, e_{i_u} — величины ошибок.

Можно составить j-ый синдром Sj принятого слова r(x):

S_j = r(\beta^{l_0-1+j}) = e(\beta^{l_0-1+j}), \quad j=1,\ldots,d-1\quad\quad (1).

Задача состоит в нахождений числа ошибок u, их позиций i_1,i_2,\ldots,i_uи их значений e_{i_1}, e_{i_2},\ldots, e_{i_u}при известных синдромах Sj.

Предположим, для начала, что u в точности равно t. Запишем (1) в виде системы нелинейных уравнений в явном виде:


{ \begin{cases}S_1 = e_{i_1} \beta^{l_0 i_1} + e_{i_2} \beta^{l_0 i_2} + \dots + e_{i_t} \beta^{l_0 i_t} \\S_2 = e_{i_1} \beta^{(l_0+1) i_1} + e_{i_2} \beta^{(l_0+1) i_2} + \dots + e_{i_t} \beta^{(l_0+1) i_t} \\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\S_{d-1} = e_{i_1} \beta^{(l_0+d-2) i_1} + e_{i_2} \beta^{(l_0+d-2) i_2} + \dots + e_{i_t} \beta^{(l_0+d-2) i_t} \\\end{cases} }

Обозначим через X_k = \beta^{i_k}локатор k-ой ошибки, а через Y_k = e_{i_k}величину ошибки, k=1,\ldots,t. При этом все Xk различны, так как порядок элемента β равен n, и поэтому при известном Xk можно определить ik как ik = logβXk.

{ \begin{cases}S_1 = Y_1 X_1^{l_0} + Y_2 X_2^{l_0} + \dots + + Y_t X_t^{l_0} \\S_2 = Y_1 X_1^{l_0+1} + Y_2 X_2^{l_0+1} + \dots + + Y_t X_t^{l_0+1} \quad \quad \quad \quad \quad\quad(2) \\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\S_{d-1} = Y_1 X_1^{l_0+d-2} + Y_2 X_2^{l_0+d-2} + \dots + + Y_t X_t^{l_0+d-2} \end{cases} }

Составим полином локаторов ошибок:

\Lambda (x) = (1-xX_1)(1-xX_2)\dots (1-xX_t) = \Lambda_t x^t + \Lambda_{t-1} x^{t-1} + \dots + \Lambda_1 x + 1

Корнями этого полинома являются элементы, обратные локаторам ошибок. Помножим обе части этого полинома на Y_l X_{l}^{\vartheta+t}. Полученное равенство будет справедливо для

\vartheta = l_0,l_0+1,\dots,l_0+d-1,\quad l=1,\ldots,t:

\Lambda (x) Y_l X_{l}^{\vartheta+t} = \Lambda_t x^t Y_l X_{l}^{\vartheta+t} + \Lambda_{t-1} x^{t-1} Y_l X_{l}^{\vartheta+t} + \dots + \Lambda_1 x Y_l X_{l}^{\vartheta+t} + Y_l X_{l}^{\vartheta+t} \quad (3)

Положим x=X_l^{-1}и подставим в (3). Получится равенство, справедливое для каждого l \in {1,2,...,t}и при всех \vartheta \in { l_0,l_0+1,\dots,l_0+d-1 }:

0 = \Lambda_t Y_l X_{l}^{\vartheta} + \Lambda_{t-1} Y_l X_{l}^{\vartheta+1} + \dots + \Lambda_{1} Y_l X_{l}^{\vartheta+t-1} + Y_l X_{l}^{\vartheta+t}

Таким образом для каждого l можно записать свое равенство. Если их просуммировать по l, то получиться равенство, справедливое для каждого

\vartheta \in { l_0,l_0+1,\dots,l_0+d-1 }:

0 = \Lambda_t \sum_{l=1}^t Y_l X_{l}^{\vartheta} + \Lambda_{t-1} \sum_{l=1}^t Y_l X_{l}^{\vartheta+1} + \dots + \Lambda_{1} \sum_{l=1}^t Y_l X_{l}^{\vartheta+t-1} + \sum_{l=1}^t Y_l X_{l}^{\vartheta+t}.

Учитывая (2) и то, что

S_{j+p} = \sum_{l=1}^t Y_l X_{l}^{l_0+j+p-1} = \sum_{l=1}^t Y_l X_{l}^{\vartheta+p}, \quad j=1,\ldots,d-1, \quad \vartheta = l_0+j-1,

(то есть \varthetaменяется в тех же пределах, что и ранее) получаем систему линейных уравнений:

{ \begin{cases}S_1 \Lambda_t + S_2 \Lambda_{t-1} + \dots + S_t \Lambda_1 = -S_{t+1} \\S_2 \Lambda_t + S_3 \Lambda_{t-1} + \dots + S_{t+1} \Lambda_1 = -S_{t+2} \quad \quad \quad \quad \quad\quad(4) \\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\S_t \Lambda_t + S_{t+1} \Lambda_{t-1} + \dots + S_{2t-1} \Lambda_1 = -S_{2t}\end{cases} }

.

Или в матричной форме

S^{(t)} \bar\Lambda^{(t)} = -\bar s^{(t)},

Где

S^{(t)}={ \left[ \begin{matrix}S_1 &amp; S_2 &amp; \dots &amp; S_t \\S_2 &amp; S_3 &amp; \dots &amp; S_{t+1} \\\cdots &amp; \cdots &amp; \cdots &amp; \\S_t &amp; S_{t+1} &amp; \dots &amp; S_{2t-1} \end{matrix} \right] }, \quad \quad \quad \quad \quad\quad(5)

\bar\Lambda^{(t)} = { \left[ \begin{matrix}\Lambda_t \\\Lambda_{t-1} \\\cdots \\\Lambda_1\end{matrix} \right] }, \quad \quad \bar s^{(t)}{ \left[ \begin{matrix}S_{t+1} \\S_{t+2} \\\cdots \\S_{2t}\end{matrix} \right] }

Если число ошибок и в самом деле равно t, то система (4) разрешима, и можно найти значения коэффициентов \Lambda_{1},\ldots,\Lambda_{t}. Если же число u < t, то определитель матрицы S(t) системы (4) будет равен 0. Это есть признак того, что количество ошибок меньше t. Поэтому необходимо составить систему (4), предполагая число ошибок равным t − 1. Высчитать определитель новой матрицы S(t − 1) и т. д., до тех пор, пока не установим истинное число ошибок.

После этого можно решить систему (4) и получить коэффициенты полинома локаторов ошибок. Его корни (элементы, обратные локаторам ошибок) можно найти простым перебором по всем элементам поля GF(qm). К ним найти элементы, обратные по умножению, — это локаторы ошибок X_k, \quad k=1,\ldots,u. По локаторам можно найти позиции ошибок (ik = logβXk), а значения Yk ошибок из системы (2), приняв t = u. Декодирование завершено.

 

Коды Рида–Соломона

Широко используемым подмножеством кодов БЧХ являются коды Рида-Соломона, которые позволяют исправлять пакеты ошибок. Пакет ошибок длины b представляет собой последовательность из таких b ошибочных символов, что первый и последний из них отличны от нуля. Существуют классы кодов Рида-Соломона, позволяющие исправлять многократные пакеты ошибок.

Коды Рида-Соломона широко используются в устройствах цифровой записи звука, в том числе на компакт-диски. Данные, состоящие из отсчетов объединяются в кадр, представляющий кодовое слово. Кадры разбиваются на блоки по 8 бит. Часть блоков являются контрольными.

Обычно 1 кадр (кодовое слово) = 32 символа данных +24 сигнальных символа +8 контрольных бит = 256 бит.

Сигнальные символы это вспомогательные данные, облегчающие декодирование: служебные сигналы, сигналы синхронизации и т. д.

При передаче данных производится перемежение (изменение порядка следования по длине носителя и во времени) блоков с различным сдвигом во времени, в результате чего расчленяются сдвоенные ошибки, что облегчает их локализацию и коррекцию. При этом используются коды Рида-Соломона с минимальным кодовым расстоянием d0 = 5.

 

Сверточные коды

Кроме рассмотренных корректирующих кодов используются так называемые сверточные коды, контрольные биты, в которых формируются непрерывно из информационных и контрольных бит смежных блоков.


Выводы

Таким образом, в результате написания реферата, пришли к выводу, что коды Боуза-Чоудхури-Хоквингхема – это широкий класс циклических кодов, способных исправлять многократные ошибки.

БЧХ-коды играют заметную роль в теории и практике кодирования. Интерес к ним определяется следующим: коды БЧХ имеют весьма хорошие свойства; данные коды имеют относительно простые методы кодирования и декодирования; коды Рида-Соломона являются широко известным подклассом недвоичных БЧХ кодов, которые обладают оптимальными свойствами, и применяются для исправления многократных пакетов ошибок.

Список использованной литературы

1.         Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки = Theory and practice of error control codes. — М.: Мир, 1986. — С. 576

2.         Дмитриев В.И. Прикладная теория информации: Учебник для вузов. М.: Высшая школа , 1989. 320 c.

3.         Колесник В.Д., Полтырев Г.Ш. Курс теории информации. – М.: Наука, 1982.

4.         Кудряшов Б.Д. Теория информации. Учебник для вузов Изд-во ПИТЕР, 2008. – 320с.

5.         Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. — М.: Мир, 1976. — С. 596.

6.         Семенюк В. В. Экономное кодирование дискретной информации. – СПб.: СПб ГИТМО (ТУ), 2001

7.         У. Петерсон, Э. Уэлдон, Коды, исправляющие ошибки, Москва, “Мир”, 1976.

8.         Э. Берлекэмп, Алгебраическая теория кодирования, Москва, “Мир”, 1971.


Еще из раздела Информатика, программирование:


 Это интересно
 Реклама
 Поиск рефератов
 
 Афоризм
Надпись в туалете: Ничего хорошего из тебя не выйдет!
 Гороскоп
Гороскопы
 Счётчики
bigmir)net TOP 100