Министерство образования

Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

2003

1(Т85.РП). Найдите матрицу D=(AC-AB), если

А=  1   0     ,C=   3   4    4    ,  B=  -3   1   4   .

       2   -2             1  -3   5              2   -3   4

(В ответ ввести вторую строку матрицы D.)

Решение:

Размеры матриц А и С согласованны, т.к. число элементов в строке матрицы А равно числу элементов в столбце  матрицы В.

а*с=    1     0  *   3   4   4   =   1*3+0*1      1*4+0*(-3)    1*4+0*5   =     3   4    4  

              2   -2       1  -3   5        2*3+(-2)*1   2*4-2*(-3)     2*4-2*5          4  14   -2

А*В=   1      0  *  -3   1   4   =   1*(-3)+0*2  1*1+0*(-3)    1*4+0*4  =   -3    1   4

             2    -2       2  -3   4         2*(-3)-2*2   2*1-2*(-3)     2*4-2*4        -10  8   0

D=А*С-А*В=      3    4     4   _    -3    1    4    =     3-(-3)     4-1      4-4   =   6    3    0

                             4   14   -2        -10  8   0            4-(-10)   14-8    -2-0        14  6   -2

Ответ :14 , 6 , -2.

2(3ТО).Вычислите определитель D= 2   2    1   0

                                                               1   1    1   0

                                                               1   2    2   1

                                                               0   3    2   2

Решение:

 2   2   1   0

 1   1   1   0

 1   2   2   1  =

 0   3   2   2

Умножим третью строку на (-2) и сложим с четвёртой строкой , результат запишем

в четвёртую строку:

   2    2  1   0

   1    1    1   0

= 1    2    2   1    =

   -2  -1   -2  0

Данный определитель разложим по элементам четвёртого столбца :

                  3+4 2     2      1 

= 1*(-1)    * 1     1      1    =

                    -2   -1     -2

Умножим вторую строку  на  (-2) и сложим  с первой, результат запишем в первую строку . Умножим вторую строку  на  2  и сложим с  третьей , результат запишем в третью строку .

       0    0    -1

= -  1    1     1     = - (-1)  ¹⁺³   * (-1) *   1   1    = 1-0 =1;

       0    1     0                                         0   1

Ответ: D = 1. 

3(598.Р7).Решите матричное уравнение

          1      2      1                 1       1      -1

X*     4      3     -2    = 16*   -1      2       3 

         -5     -4    -1                 0      -1      -2  .

Решение:

A*X=B ,  X=A^-1 *B

Найдём  det A:

             1      2      1    

det A=  4      3     -2 = 1*3*(-1)+1*4*(-4)+2*(-2)*(-5)-1*3*(-5)-2*4*(-1)-1*(-2)*(-4)=

             -5    -4    -1

=-19+20+15-8+8=16 ;

det= 16 ≠ 0;               

Составим матрицу А ^-1 , обратную матрицы А:

 А¹ ₁   =  3    -2    = -3 –8 = -11

              -4   -1  

 А¹₂   = -   4    -2    = -(-4-10) = 14

                -5    -1

 А¹₃   =  4      3    = -16+15 = -1

             -5    -4

 A²₁   = -   2       1    = -(-2+4) = -2

                -4     -1  

 A²₂   =  1       1   = -1+5 = 4

             -5     -1

 A²₃   = -   1       2   = - (-4+10) = -6

                -5     -4  

 A³₁   =   2       1   = - 4-3 = -7

               3      -2  

 A³₂    = -   1       1   = - (-2-4) = 6 

–2      

 A³₃    =   1       2  = 3 –8 = -5

                4       3      

                 -11/16       -2/16       -7/16

 А^-1    =      14/16        4/16         6/16

                  -1/16        -6/16       -5/16     

                 -11/16       -2/16       -7/16            1*16      1*16       -1*16          

 Х      =      14/16         4/16         6/16    *    -1*16      2*16         3*16    =    

                 -1/16         -6/16       -5/16            0*16     -1*16        2*16         

      -11*1+(-2*(-1))+(-7*0)    -11*1+(-2*2)+(-7*(-1))     -11*(-1)+(-2*3)+(-7*2)

=   14*1+4*(-1)+6*0              14*1+4*2+6*(-1)              14*(-1)+4*3+6*2     =     

      -1*1+(-6*(-1))+(-5*0)      -1*1+(-6*2)+(-5*(-1))       -1*(-1)+(-6*3)+(-5*2)

        -9       -8        -9   

=     10       16       10   

        5         -8       -27 

Ответ : Х = : -9 , -8 , -9 : 10 , 16 , 10 : 5 , -8 , -27 .

4(4П5).При каком значении параметра p , если он существует ,

                                                         1       2     -2    1

последняя строка матрицы А  =   2      -3     3     2     является линейной комбинацией первых

                                                         1      -1      1      2   

                                                         8      -7      p      11

трёх строк?

Решение :

Вычислим det A:

                1      2      -2     1            1       2        -2       1           -7      7        0           -7     7       0

det A =    2      -3     3      2      =    0       -7       7        0     =    3      -3        -1    =   3      -3      -1   =

                1      -1     1      2            0       3        -3       -1          23     -16-p  -3         14    -7-p   0

                8      -7      p     11          0       23      -16-p  -3             

-1*(-1) ²⁺³  _*    -7      7      = 49 + 7p – 98 = 7p - 49

                      14     -7-p  

Если det A=0 , то ранг матрицы А равен двум , т.е. 7p – 49 = 0 , p = 7.

Третья строка по теореме о базисном миноре является комбинацией первых двух .

Обозначим коэффициенты этой комбинации через λ₁ и λ₂ , λ₃ ,тогда (8,-7,7,11) = λ₁(1,2,-2,1)+ + λ₂ (2,-3,3,2) + λ₃ (1,-1,1,2);

Имеем систему :  λ₁ + 2λ₂ + λ₃ = 8        * 2

                              2λ₁- 3λ₂  - λ₃  = -7

                              -2λ₁ + 3λ₂ + λ₃ = 7

                              λ₁ + 2λ₂ + 2λ₃ = 11

Решим  данную систему методом Гаусса :

   λ₁ + 2λ₂ + λ₃ = 8            1) λ₃ = 3         

         7λ₂ + 3λ₃ = 23          2) 7λ₂ + 9 = 23

         7λ₂ + 3λ₃ = 23              7λ₂ = 14

                    λ₃ = 3                  λ₂ = 2

                                          3) λ₁ + 2*2 + 3 =8   

                                              λ₁ = 1

коэффициенты линейных комбинаций λ₁ = 1 ; λ₂ = 2 ; λ₃ = 3 ;

Ответ :  (8,-7,7,11) = 1(1,2,-2,1)+ 2(2,-3,3,2) + 3(1,-1,1,2) .

5. Относительно канонического базиса в R₃ даны четыре вектора f₁(1,1,1) , f₂ (1,2,3) ,               f₃ (1,3,6), x(4,7,10). Докажите, что векторы f₁, f₂ , f₃ можно принять за новый базис в R₃ . (ТР0.РП) . Найдите координаты вектора x в базисе f_i .

Составим определитель из компонент векторов и f₁, f₂ , f₃ вычислим его :

         1     1     1          1     1     1    

∆ =   1     2     3    =    0     1     2    =   1*(-1)¹⁺¹ *   1     2   = 5 – 4 = 1    

         1     3     6          0     2     5                              2     5 

Так как ∆ ≠ 0 , то векторы f₁, f₂ , f₃ образуют базис трёхмерного  пространства R₃

Для вычисления координат вектора x в этом базисе составим систему линейных уравнений :

  х₁ + х₂ + х₃ = 4         *(-1)    

  х₁ + 2х₂ + 3х₃ = 7

  х₁ + 3х₂ + 6х₃ = 10

  

  х₁ + х₂ + х₃ = 4         

         х₂ + 2х₃ = 3          *(-2)

       2х₂ + 5х₃ = 6    

  х₁ + х₂ + х₃ = 4          1) х₃ = 0             3) х₁ + 3 + 0 = 4

         х₂ + 2х₃ = 3         2) х₂ + 0 = 3           х₁ = 4 - 3

                  х₃ = 0             х₂ = 0                  х₁ = 1              

х₁ = 1 , х₂ = 0 , х₃ = 0 .

Решение этой системы образует совокупность координат вектора x в базисе f₁, f₂ , f₃

x(1;3;0);

x = f₁ + 3f₂ + 0f₃;

x = f₁ + 3f₂ .

Ответ : координаты вектора x (1;3;0).

6. Докажите , что система

  2х₁ + 2х₂  +  х₃                 = 8,

    х₁ +   х₂  +  х₃                 = 3,

    х₁ + 2х₂ + 2х₃   +  х₄  = 3,

           3х₂ + 2х₃  +2х₄  = 3

имеет единственное решение . (362).Неизвестное х₂ найдите по формулам Крамера . (0М1.РЛ) . Решите систему методом Гаусса .

Решение:

Составим матрицу из коэффициентов при переменных

         2     2     1      0

А =   1     1     1      0

         1     2     2      1    

         0     3     2      2

Вычислим определитель матрицы А

         2     2     1      0         2     2     1      0                       2      2   1 1  1 0 

∆  =   1     1     1      0  =    1     1     1      0   =  (-1)³⁺⁴ *   1      1      1   = -  1      1      1    =                                    

         1     2     2      1         1     2     2      1                      -2     -1     -2         0      1      0      

         0     3     2      2        -2    -1    -2     0                                        

= - (-1)²⁺³  *   1     1   = 1

                      0     1                                   

∆ ≠ 0, тогда система имеет решение х₂ = ∆ х₂ /∆

             2     8     1      0         2     8     1      0                       2     8      1         2     8      1

∆ х₂ =   1     3     1      0   =    1     3     1      0    = (-1)³⁺⁴ *  1     3      1   = -  1     5      0   =

             1     3     2      1         1     3     2      1                      -2    -3    -2         0     3      0

             0     3     2      2        -2    -3    -2     0

= -(-1)¹⁺³  *    1     5    = ( 3 + 0 ) = 3

                      0     8

х₂ = 3 /1 = 3.

Решим систему методом Гаусса

  2х₁ + 2х₂  +  х₃                 = 8     *(-2)    *(-1)

    х₁ +   х₂  +  х₃                 = 3

    х₁ + 2х₂ + 2х₃   +  х₄  = 3

           3х₂ + 2х₃  +2х₄  = 3

 х₁ +   х₂  +  х₃                 = 3

                -  х₃                 = 2

          х₂  +  х₃    +  х₄   = 0      *(-3)

        3х₂ + 2х₃  +2х₄  = 3  

 х₁ +   х₂  +  х₃                 = 3

          х₂  +  х₃    +  х₄   = 0

               -  х₃   -   х₄   = 3

                  х₃                   = -2

1) х₃  = - 2            3) х₂  - 2  - 1  = 0

2) 2 - х₄   = 3             х₂  = 3

    х₄   = -1             4) х₁ + 3  - 2   = 3 

                                 х₁ = 2

Проверка :

 2 + 3 – 2 =3,   3 = 3    

 4 + 3*3 – 2 = 8,    8 = 8

 2 + 6 – 4 – 2 = 3,     3 =3

 9 – 4 – 2 = 3 ,  3 = 3.

Ответ : х₁ = 2 , х₂  = 3 ,  х₃  = - 2 , х₄   = -1.

7. Дана система линейных уравнений

   3х₁ + х₂ - х₃   -  х₄  = 2,

   9х₁ + х₂ - 2х₃ -  х₄  = 7,

     х₁  - х₂             -  х₄   = -1,

     х₁ + х₂ -  х₃  -3х₄   = -2.

Докажите ,что система совместна . Найдите её общее решение . (392.БЛ). Найдите частное решение , если х₄  = 1 .

Доказательство :

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда , когда ранг основной матрицы

системы равен рангу расширенной матрицы .

Составим  расширенную матрицу :

         3      1      -1      -1      2            0      -2       2       8        8             0       0       1       6        7              

А =   9      1      -2      -1      7     →   0      -8       7       26      25    →   0       0       3       18      21    =0

         1      -1     0       -1      -1           0      -2       1       2        1             0      -2       1       2        1

         1      1      -1      -3      -2           1      1         -1     -3       -2           1      1         -1     -3       -2

Первая и вторая строка пропорциональны  следовательно А = 0. Поэтому ранг матрицы и расширенной матрицы равны 3 поэтому система является совместной .

Решим систему методом Гаусса :

запишем последнее уравнение на первое место :

  х₁ + х₂ -  х₃  -3х₄   = -2

3х₁ + х₂ - х₃   -  х₄  = 2

9х₁ + х₂ - 2х₃ -  х₄   = 7

  х₁  - х₂             -  х₄   = -1

         1      1      -1      -3      -2             1      1      -1      -3     -2             1      1      -1      -3     -2                            

С =   3      1      -1      -1      2       →   0      2      -2      -8     -8      →   0      2      -2      -8     -8   →

         9      1      -2      -1      7              0      8      -7      -26   -25           0      0      -1      -6     -7

         1      -1     0       -1      -1             0      2      -1      -2     -1             0      0      -1      -6     -7

        х₁ + х₂ -  х₃  -3х₄   = -2

→         2х₂- 2х₃ -8х₄  = -8

                    - х₃ -6х₄   = -7.

1) х₃  = 7 - 6х₄

2) х₂ - х₃ -4х₄   = -4

    х₂ = х₃  + 4х₄  - 4

    х₂ = 7 - 6х₄ + 4х₄  - 4

    х₂ = 3 - 2х₄

3) х₁ = - х₂ +  х₃  + 3х₄  - 2

    х₁ = - 3 + 2х₄  + 7 - 6х₄ + 3х₄ – 2

    х₁ = 2 -х_{4 .}

Получаем общее решение системы :

х₁ = 2 -х₄

х₂ = 3 - 2х₄

х₃  = 7 - 6х_4.

Найдём частное решение , если х₄  = 1 тогда

х₁ = 2 – 1 = 1;

х₂ = 3 – 2*1 = 1;

х₃  = 7 – 6*1 =1.

Ответ : (1;1;1;1) – частное решение .

8. Дана система линейных  однородных уравнений

   2х₁ +3х₂  -   х₃  -  х₄  + х₅  = 0,

   3х₁ - 2х₂ - 3х₃          -3х₅ = 0,

     х₁ - 3х₂ + 2х₃  -5х₄ -2х₅  = 0.

Докажите , что система имеет нетривиальное решение . Найдите общее решение системы . Найдите какую-нибудь фундаментальную систему решений Доказательство :

Система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда , когда ранг её матрицы меньше числа неизвестных .В этом случае ранг матрицы не больше трёх , а переменных в системе пять .

Решим систему методом Гаусса .

Запишем матрицу системы :

         2      3      -1      -1       1             1      -3     2       -5        -2

А =   3      -2     3       0         -3    →   0       9     -5       9         5     │*7     →

         1      -3     2       -5        -2           0       7     -3       15       3    │*(-9)

       1      -3     2       -5        -2

→   0       9     -5       9         5

       0       0     -8      -72       8

   х₁ -3х₂  + 2х₃  - 5х₄  -2х₅  = 0

        9х₂  - 5х₃ + 9х₄ +5х₅ = 0

                -8х₃  -72х₄ +8х₅ = 0

1) 8х₃  = -72х₄ + 8х₅

      х₃  = -  9х₄ +   х₅

2) 9х₂ +  45х₄  -  5х₅ + 9х₄ +5х₅ = 0

    9х₂ +  36х₄ = 0

      х₂= - 4х₄

3) х₁ +12х₄ - 18х₄ + 2 х₅ - 5х₄  -2х₅  = 0

    х₁ - 11х₄ = 0

    х₁ =11х₄

Общее решение системы :

х₁ =11х₄

х₂= - 4х₄

х₃  = -  9х₄ +   х₅

Найдём фундаментальную систему решений , положив х₄ = 1 , х₅ = 0.

х₁ =11*1 = 11,

х₂= - 4*1 = -4,

х₃  = -  9*1 +   0 = -9.

Пусть х₄ = 0, х₅ = 1.

х₁ =11*0 = 0,

х₂= - 4*0 = 0,

х₃  = -  9*0 +   1 = 1.

Ответ :   (11;-4;-9;1;0)

               (0; 0; 1; 0; 1).

9 (3СА). Найдите площадь параллелограмма , построенного на векторах  а = 2р + 3r,               b = p –2r , | p | = √2 , | r | = 3, (p,^r) = 45° .

Решение :

S =| [а , b] | = | [2р + 3r , p –2r] | = | 2[p , p] - 4[p, r ] + 3[r , p] -6[r , r] |

[p , p] = 0 , [r , r] = 0 , [r , p] = - [p, r ] .

S = | 7[r , p] | = 7| r | * | p | * sinφ

S = 7 * 3 * √2 * sin 45°  = 21 * √2 * √2 / 2 =21 .

Ответ :S =21 .

10 (78Т). Вычислите Пр_BD[BC ,CD] , если B(6,3,3) ; C(6,4,2) ; D(4,1,4) .

Решение :

Найдём координаты векторов

BD = ( 4 – 6 , 1 – 3 , 4 – 3 ) = ( - 2 ; - 2 ; 1 ),

BC = ( 6 – 6 , 4 – 3 , 2 – 3 ) = ( 0 ; 1 ; - 1 ),

CD = ( 4 – 6 , 1 – 4 , 4 – 2 ) = ( - 2 ; - 3 ; 2 ).

Найдём векторное произведение :

                       i     j     k

[BC ,CD] =   0     1    -1  =  i (2 – 3) – j (0 –2) + k (0 + 2) = - i + 2j + 2k .

                      -2   -3    2  

Пусть [BC ,CD] = а , тогда а = ( -1 ; 2 ; 2 )

Пр_BD  а = ( BD , a ) /| BD | 

( BD , a ) = -2*( -1 ) – 2*2 + 1*2 = 2 –4 + 2 = 0 .

Пр_BD а = 0 .

Ответ : Пр_BD а = 0 .

11. Линейный оператор А действует в R₃ → R₃ по закону Ax = (- х₁ + 2х₂ + x₃ , 5х₂ , 3х₁ +  2х₂ + х₃ ), где х( х₁, х₂, х₃ ) – произвольный вектор .(125.РП). Найдите матрицу А этого оператора в каноническом базисе . Докажите , что вектор х(1,0 ,3) является собственным для матрицы А .(Т56). Найдите собственное число λ₀  , соответствующее вектору х . (Д25.РП). Найдите другие собственные числа , отличные от λ₀ . Найдите все собственные векторы матрицы А и сделайте проверку .

Решение :

Ax = (- х₁ + 2х₂ + x₃ ; 5х₂ ; 3х₁ +  2х₂ + х₃ )

Найдём  матрицу в базисе l₁ , l₂ , l₃

A _l1 = (-1 ; 2 ;1)

A _l2 = (0 ; 5 ; 0)

A _l3 = (3 ; 2 ; 1)

         -1   2     1

A =   0    5     0

         3    2     1     .

Докажем , что вектор х = (1 ,0 ,3) является собственным для матрицы А.

Имеем

         -1   2     1         1          -1 + 0 + 3        2              1

Aх = 0    5     0    *   0    =     0  + 0 + 0   =  0   =  2 *  0

         3    2     1         3           3  + 0 + 3        6              3    .

Отсюда следует , что вектор х = (1 ,0 ,3) собственный и отвечает собственному числу λ = 2 .

Составляем характеристическое уравнение  :

   -1 – λ    2         1

   0            5 – λ    0         = 0    

   3            2          1 – λ

(5 – λ)*((-1 – λ)*(1 – λ) – 3) = 0

5 – λ = 0     или     λ² –1 – 3 = 0

                             λ² = 4

                             λ = ±2

 λ₁ = 2 , λ₂ = -2 , λ₃ = 5 .

Запишем систему для определения собственного вектора, отвечающего собственному числу λ = -2.

  х₁ + 2х₂  +  х₃    = 0       х₂  = 0   

         7х₂                 = 0

3х₁ + 2х₂ + 3х₃  = 0

  х₁ +   х₃  = 0                 х₁ = -х₃

3х₁ + 3х₃  = 0

Пусть х₃  = 1 ,тогда х₁ = -1 , имеем собственный вектор х₁ = (-1 ;0 ;1) .

Проверка :

         -1   2     1        -1       1  + 0 + 1           2                 -1

A =   0    5     0    *   0    =  0  + 0 + 0    =    0    =  -2 *   0

         3    2     1         1        -3 + 0 + 1          -2                1

Следовательно , х₁ = (-1 ;0 ;1) собственный вектор и отвечает собственному числу λ = -2.

Найдём собственный вектор для  λ = 5

-6х₁ + 2х₂  +  х₃    = 0

 3х₁ + 2х₂  - 4х₃   = 0

-9х₁ + 5х₃  = 0

   х₁ = 5/9 х₃

-6*(5/9 х₃) + 2х₂  +  х₃   = 0

-10/3 х₃  +  х₃  + 2х₂  = 0

2х₂  = 7/3 х₃

  х₂  = 7/6 х_{3 .}

Пусть х₃  = 18 , тогда х₁ = 10 , х₂  = 21 .

Вектор х₂ = (10 ;21 ;18) собственный вектор .

Проверка

         -1   2     1        10         -10  + 42   + 18          50                  10

A =   0    5     0    *   21   =   0      + 105 + 0      =    105    =  5 *   21

         3    2     1         18        30    + 42   + 18          90                  18   .

Следовательно , х₂ = (10 ;21 ;18) собственный и отвечает собственному числу λ = 5 .

Ответ : матрица в каноническом  базисе : -1 , 2 , 1 : 0 , 5 , 0 : 3 , 2 , 1; вектор х = (1 ,0 ,3) собственный и отвечает собственному числу λ = 2 , х₁ = (-1 ;0 ;1) собственный вектор и отвечает собственному числу λ = -2 , х₂ = (10 ;21 ;18) собственный и отвечает собственному числу λ = 5 .

12(Д01.РП).Составьте общее уравнение прямой , проходящей  через точку М(1,4) параллельно прямой 2х + 3y + 5 = 0.

Решение :

Найдём угловой коэффициент прямой 2х + 3y + 5 = 0.

3y = -2x –5

y = -2/3 x – 5/3

κ = -2/3

Так как исходная прямая параллельна данной , то её угловой коэффициент равен κ = -2/3 .

Уравнение прямой имеющей угловой коэффициент κ и проходящей через точку М(х₀,y₀) записывается в виде

y – y₀ = κ(x – x₀).

Имеем

y – 4 = -2/3 (x – 1)

3y – 12 =  -2x + 2

2х + 3y - 14 = 0.

Ответ : 2х + 3y - 14 = 0 – уравнение искомой прямой .

13(3А2.РП).Найдите координаты проекции точки М(3,6) на прямую  х + 2y – 10 = 0.

Решение :

Пусть N – проекция  точки М  на данную прямую .

Составим уравнение прямой MN угловой коэффициент заданной прямой  х + 2y – 10 = 0 равен κ₁ = -1/2 , тогда угловой коэффициент прямой MN  равен κ₂ = 2 .

Тогда уравнение MN  имеет вид  y – y₀ = 2(x – x₀) .

Для определения координат точки  N решим систему уравнений  

  х + 2y – 10 = 0

  y – y₀ = 2(x – x₀)   ,   x₀ = 3 ,  y₀ = 6 .

  х + 2y – 10 = 0          2х + 4y – 20 = 0

  y – 6 = 2(x – 3)          -2х + y  = 0

4y = 20        

  y = 4

2х = y 

х  = ½ y

х  = ½ * 4 = 2

х  = 2 .

Ответ : координаты проекции точки М(3,6) на прямую  х + 2y – 10 = 0 N(2,4).

14(103.БЛ). Запишите общее уравнение плоскости , походящей через три заданные точки     M₁(-6,1,-5) , M₂(7,-2,-1) , M₃(10,-7,1) .

Решение :

Уравнение плоскости , проходящей через 3 точки имеет вид

  x-x1      y-y1      z-z1

  x2-x1    y2-y1    z2-z1    = 0

  x3-x1    y3-y1    z3-z1

     x-6        y-1        z+5

     7+6       -2-1      -1+5     = 0

     10+6     -7-1      1-5  

  x-6        y-1        z+5

  13         -3          4            = 0      

  16         -8          -4  

(x –6)*   -3       4     -  (y – 1)*  13     4    + (z + 5)*   13     -3     = (x –6)*(12+32) – (y – 1)*(-52-64)+

              -8      -4                      16     -4                      16     -8

+ (z + 5)*(-104+48) = 0

(x –6)*44 - (y – 1)*(-116) + (z + 5)*(-56) = 0

11*(x –6) + 29*(y – 1) – 14*(z + 5) = 0

11x – 66 + 29y – 29 – 14z – 70 = 0

11x + 29y – 14z – 165 = 0 .

Ответ : общее уравнение плоскости 11x + 29y – 14z – 165 = 0 .

15.Дана кривая 4x2 – y2 – 24x + 4y + 28 = 0 .

8.1.Докажите , что эта кривая – гипербола .

8.2 (325.Б7).Найдите координаты её центра симметрии .

8.3 (Д06.РП).Найдите действительную и мнимую полуоси .

8.4 (267.БЛ). Запишите уравнение фокальной оси .

8.5. Постройте данную гиперболу .

Решение :

Выделим полные квадраты

4(x2 – 6x + 9) – 36 – (y2 – 4y + 4) + 4 + 28  = 0  

4(x – 3)2 – (y – 2)2 – 4 = 0

4(x – 3)2 – (y – 2)2 = 4

((x – 3)2/1) – ((y – 2)2/4) = 1

Положим x₁ = x – 3 , y₁ = y – 2 , тогда x₁2/1 – y₁2/4 =1 .

Данная кривая является гиперболой .

Определим её центр

x₁ = x – 3 = 0 ,  x = 3

y₁ = y – 2 = 0 ,  y = 2

(3 ; 2)  - центр .

Действительная полуось a =1 .

Мнимая полуось b =2 .

Уравнение асимптот  гиперболы

y₁ = ± b/a x₁ 

(y – 2) = (± 2/1)*(x – 3)

y –2 = 2x – 6      и      y – 2 = -2(x – 8)

2x – y – 4 = 0             2x + 2y – 8 = 0

x + y – 4 = 0 .

Определим  фокусы гиперболы

F₁(-c ; 0)  ,   F₂(c ; 0)

c2 = a2 + b2  ;  c2 = 1 + 4 = 5

c = ±√5

F₁(-√5; 0)  ,   F₂(√5 ; 0).

F₁′(3 - √5; 2) , F₂′ (3 + √5; 2).

Уравнение F₁′ F₂′ (x – 3 + √5) / (3 + √5 – 3 + √5) = (y – 2) /(2 – 2) ; y = 2

Ответ: (3 ; 2)  , действительная полуось a =1 , мнимая полуось b =2, (x – 3 + √5) / (3 + √5 – 3 + √5) = (y – 2) /(2 – 2) ; y = 2 .

16.Дана кривая  y2 + 6x + 6y + 15 = 0.

16.1.Докажите , что эта кривая – гипербола .

16.2(058.РП). Найдите координаты её вершины .

16.3(2П9). Найдите значения её параметра p .

16.4(289.РП). Запишите уравнение её оси симметрии .

16.5.Постройте данную параболу .

Решение :

Выделим полный квадрат при переменной y

(y2 + 6y + 9) + 6x + 6 = 0

(y + 3)2 = - 6(x + 1) .

Положим y₁ = y + 3 , x₁ = x + 1 .

Получим

y₁2 = ±6x₁ .

Это уравнение параболы вида  y2 = 2px , где p = -3 .

Данная кривая является гиперболой .

Так как  p<0 , то ветви  параболы в отрицательную сторону. Координаты вершины параболы y + 3 = 0       x + 1 = 0

y = -3                   x = -1

(-1 ; -3) – вершина параболы .

Уравнение оси симметрии y = -3.

                          

Ответ : (-1 ; -3) – вершина параболы , p = -3 , уравнение оси симметрии y = -3 .

Еще из раздела Математика:

• Курсовая работа: Дзета-функция Римана
• Статья: Обломки небесной тверди
• Контрольная работа: Методика обработки экспериментальных данных
• Контрольная работа: Математическая статистика
• Курсовая работа: Собственные значения.
• Курсовая работа: Решение военно-логической задачи по распределению ударной группы авиационного подразделения
• Реферат: О причине необратимости времени

---