План Інтерполяція Інтерполяційна формула Лагранжа Інтерполяційна формула Ньютона 13.16. Інтерполювання функцій Нехай відомі числові значення деякої величини , які відповідають числовим значенням величини /вузли інтерполювання /. Вважаючи функцією від , складемо таблицю із цих чисел: Такі таблиці виникають на практиці в результаті дослідів, які проводяться над величиною ; але їх складають і для аналітично заданих функцій : таблиці квадратів та кубів чисел, таблиці логарифмів, таблиці тригонометричних функцій і т.п. Часто виникає потреба в ущільненні таблиць, тобто в обчисленні проміжних значень , відсутніх в таблиці, задовольнившись при цьому лише наявним запасом табличних значень цієї величини . Також буває потрібним знайти на базі таблиці аналітичний вираз деякої функції , яка набувала б табличних значень за табличних значень . Звичайно, за беруть многочлен степеня , що має таку властивість (інтерполюючий многочлен). Ознайомимося з деякими методами інтерполювання. 13.16.1. Інтерполяційна формула Лагранжа Інтерполяційний многочлен запишемо у вигляді: Для знаходження невизначених коефіцієнтів будемо покладати в цій рівності по черзі вимагаючи при цьому, щоб Тоді одержуємо Підставивши знайдені значення коефіцієнтів у вираз інтерполяційного многочлена, одержимо інтерполяційну формулу Лагранжа: Поклавши в цю формулу , що дорівнює потрібному нам проміжному (нетабличному) значенню, одержуємо відповідне проміжне (нетабличне) значення . За табличних значень маємо відповідні табличні значення . 13.16.2. Інтерполяційна формула Ньютона У випадку, коли вузли інтерполювання утворюють арифметичну прогресію (рівновіддалені) ( - крок інтерполювання), користуються інтерполяційною формулою, яка використовує скінченні різниці функції . Скінченою різницею першого порядку величини називається різниця між двома послідовними її табличними значеннями: Скінченою різницею другого порядку величини називається різниця між двома послідовними різницями першого порядку: Аналогічно визначаються і скінченні різниці вищих порядків. Із означень одержуємо: Можна показати методом математичної індукції, що і в загальному випадку коефіцієнти виразу є біноміальними, а весь вираз нагадує розгорнутий -ий степінь суми. Тому У цій формулі є номер табличного значення , або інакше - число кроків , які відділяють табличне значення від , тобто Якщо будемо обчислювати нетабличне значення , що відповідає нетабличному значенню , і збережемо вигляд правої частини рівності для , то величина буде такою самою функцією від , якою функцією від раніше було ( за всіх табличних переходить в ). Замінивши на , одержуємо інтерполяційну формулу Ньютона: У розгорнутому вигляді є многочлен степеня відносно . За всіх табличних значень аргументу дорівнює відповідному табличному значенню функції , тобто . Зауваження. Якщо функція лінійна або якщо розміщення на координатній площині точок наближено нагадує пряму лінію , то для одержання проміжних (нетабличних ) значень не має необхідності в інтерполяційних формулах, побудованих на базі усієї таблиці. Достатньо використати лише два ближчих вузли інтерполювання. Нехай і потрібно знайти , знаючи відповідні табличні значення та . Із рівняння прямої одержимо Цю формулу називають формулою лінійного інтерполювання. Нею часто користуються у випадках, коли вузли інтерполювання близькі один до одного. Одержимо формули диференціювання функції, заданої таблицею, у випадку рівновіддалених вузлів інтерполювання. Інтерполяційну формулу Ньютона запишемо так: Оскільки тощо, то тощо. Для знаходження похідних функцій за табличних значень аргументу покладено і тому
тощо. Ці формули поширюються на будь-яке табличне значення аргументу оскільки будь-яке значення з таблиці скінчених різниць можна вважати початковим, так що |