На главную Добавить работу Все сервисы Старая база  

Інтерполяція - Математика -




План

Інтерполяція

Інтерполяційна формула Лагранжа

Інтерполяційна формула Ньютона

13.16. Інтерполювання функцій

Нехай відомі числові значення деякої величини , які відповідають числовим значенням величини /вузли інтерполювання /. Вважаючи функцією від , складемо таблицю із цих чисел:

Такі таблиці виникають на практиці в результаті дослідів, які проводяться над величиною ; але їх складають і для аналітично заданих функцій : таблиці квадратів та кубів чисел, таблиці логарифмів, таблиці тригонометричних функцій і т.п.

Часто виникає потреба в ущільненні таблиць, тобто в обчисленні проміжних значень , відсутніх в таблиці, задовольнившись при цьому лише наявним запасом табличних значень цієї величини . Також буває потрібним знайти на базі таблиці аналітичний вираз деякої функції , яка набувала б табличних значень за табличних значень . Звичайно, за беруть многочлен степеня , що має таку властивість (інтерполюючий многочлен).

Ознайомимося з деякими методами інтерполювання.

13.16.1. Інтерполяційна формула Лагранжа

Інтерполяційний многочлен запишемо у вигляді:

Для знаходження невизначених коефіцієнтів будемо покладати в цій рівності по черзі вимагаючи при цьому, щоб

Тоді одержуємо

Підставивши знайдені значення коефіцієнтів у вираз інтерполяційного многочлена, одержимо інтерполяційну формулу Лагранжа:

Поклавши в цю формулу , що дорівнює потрібному нам проміжному (нетабличному) значенню, одержуємо відповідне проміжне (нетабличне) значення . За табличних значень маємо відповідні табличні значення .

13.16.2. Інтерполяційна формула Ньютона

У випадку, коли вузли інтерполювання утворюють арифметичну прогресію (рівновіддалені)

( - крок інтерполювання), користуються інтерполяційною формулою, яка використовує скінченні різниці функції .

Скінченою різницею першого порядку величини називається різниця між двома послідовними її табличними значеннями:

Скінченою різницею другого порядку величини називається різниця між двома послідовними різницями першого порядку:

Аналогічно визначаються і скінченні різниці вищих порядків.

Із означень одержуємо:

Можна показати методом математичної індукції, що і в загальному випадку коефіцієнти виразу є біноміальними, а весь вираз нагадує розгорнутий -ий степінь суми. Тому

У цій формулі є номер табличного значення , або інакше - число кроків , які відділяють табличне значення від , тобто

Якщо будемо обчислювати нетабличне значення , що відповідає нетабличному значенню , і збережемо вигляд правої частини рівності для , то величина буде такою самою функцією від , якою функцією від раніше було ( за всіх табличних переходить в ).

Замінивши на , одержуємо інтерполяційну формулу Ньютона:

У розгорнутому вигляді є многочлен степеня відносно . За всіх табличних значень аргументу дорівнює відповідному табличному значенню функції , тобто .

Зауваження. Якщо функція лінійна або якщо розміщення на координатній площині точок наближено нагадує пряму лінію , то для одержання проміжних (нетабличних ) значень не має необхідності в інтерполяційних формулах, побудованих на базі усієї таблиці. Достатньо використати лише два ближчих вузли інтерполювання. Нехай і потрібно знайти , знаючи відповідні табличні значення та . Із рівняння прямої

одержимо

Цю формулу називають формулою лінійного інтерполювання. Нею часто користуються у випадках, коли вузли інтерполювання близькі один до одного.

Одержимо формули диференціювання функції, заданої таблицею, у випадку рівновіддалених вузлів інтерполювання.

Інтерполяційну формулу Ньютона запишемо так:

Оскільки

тощо,

то

тощо.

Для знаходження похідних функцій за табличних значень аргументу покладено і тому

тощо.

Ці формули поширюються на будь-яке табличне значення аргументу оскільки будь-яке значення з таблиці скінчених різниць можна вважати початковим, так що



Назад

 
 Поиск рефератов
 
 
 
 Реклама
 
 
 Еще рефераты
 
 
 Реклама
 
 
 Афоризм
Если мужчина женится потому, что пора, значит, уже поздно.
 
 
 Гороскоп
Овен Телец Близнецы Рак Лев Дева
Весы Скорпион СтрелецКозерог Водолей Рыбы
 
 
 Знакомства
я  
ищу  
   лет
 
 
 Погода
 
 
 Реклама
 
 
 Счётчики
 

[ Украина по русски — "Учил? Нет!" | 2014 © Все права защищены! Игорь Харченко ]