План Інтегрування частинами Інтегрування часток Заміна змінної 1. Інтегрування частинами Нехай і – диференційовані функції на Тоді або Звідси (8.16) Формула (8.16) називається формулою інтегрування частинами в невизначеному інтегралі. Користуючись формулою (8.16), рекомендується обчислення інтегралів від таких функцій : де –поліном , – раціональна функція . Описати всі можливі випадки застосування формули інтегрування частинами неможливо. Інтегруючи такі вирази, завжди виникає дилема : що взяти за, а що – за . Інтегруючи вирази вигляду , , після того як підінтегральна функція буде розписана за властивостями 40 і 50 , одержимо інтеграли вигляду , де - одна з функцій в яких слід за брати , бо, в протилежному випадку, інтеграл ускладнюватиметься за рахунок зростання степенів . В інтегралах , де - одна з функцій вигідно за брати . В інших випадках вибір здійснюється залежно від того, при якому з виборів легше знайти за , хоч це теж не є абсолютною істиною . Іноді доводиться експериментувати . Інтегруючи вирази , доцільно за взяти . Знаходження із співвідношень теж здійснюється інтегрування частинами . Для прикладу знайдемо Приймаючи, а , знайдемо Далі матимемо , тобто дістанемо інтеграл . Знову, взявши , знайдемо . Отже , одержимо таку систему рівнянь відносно та : Звідси Приклад 1 . Позначивши , одержимо . Звідси . (8.17) Остання формула є рекурентною, тобто , знаючи , що , можна поступово знайти , де – ціле число, більше за одиницю . Наприклад, при Звідси . Приклад 2. . Нехай Тоді і У новому інтегралі степінь величини понизився на одиницю, а це означає , що інтеграл став простішим , ніж був . Знайдемо тепер . Маємо . Звідси Отже , на основі формули (8.16) одержимо Враховуючи значення , знаходимо . Приклад 3.
Із останньої рівності одержимо . Обчислимо тепер Звідси . Остаточно з урахуванням , матимемо Останній приклад показує, що часто інтегрування частинами приводить до мети скоріше в тих випадках, де, як це здавалось би, доцільніше застосувати інші методи . У цьому можна переконатися, спробувавши знайти первісну для функції , застосувавши наприклад , заміну змінної за формулою , про що мова буде іти пізніше. 2. Інтегрування часток Через те , що то . (8.18) Користуючись цим , стають очевидними такі формули : . Нехай маємо , причому , де – довільне дійсне число. Тоді . Розглянемо інтеграл вигляду якщо , то , (8.19) де . Приклади . 1.. 2.. 3.. Через те що , то . 3. Заміна змінної Нехай потрібно обчислити інтеграл причому безпосередньо первісну ми знайти не можемо, але відомо, що вона існує. Зробимо заміну змінної в підінтегральному виразі де неперервна функція з неперервною похідною, що має обернену функцію. Тоді і в цьому випадку має місце формула (8.20) Формулу (8.20) слід розуміти так, що після інтегрування в правій частині рівності замість буде підставлено його вираз через Щоб довести рівність (8.20), потрібно довести, що похідні за від обох частин рівності рівні між собою: Ми тут використали правило диференціювання оберненої функції. Отже, похідні за від обох частин рівності (8.20) рівні, що й треба було довести. Функцію потрібно вибирати так, щоби можна було обчислити інтеграл, що стоїть в правій частині рівності (8.20). Фактично у п. 9.3.5 теж йшлося про заміну змінної, в чому можна безпосередньо переконатися . Не можна дати універсальних замін змінних , які зводили б заданий інтеграл до простішого. Але для ряду випадків це можна здійснити. Доцільно, наприклад, в інтегралах, що містять під знаком інтеграла вирази вигляду застосувати відповідно такі заміни змінних: або або . За подальшого вивчення методів інтегрування розглядатимуться інші заміни змінних . Приклади . 1.. Підстановка зводить інтеграл до такого : 2.. Щоб позбутися експонент, доцільно скористатися такою заміною змінної .Тоді і інтеграл набере вигляду
|