1. Основні поняття і означення, теорема про достатні умови існування і єдності розв’язку. Диференціальне рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної має вигляд (5.1) Найбільш часто зусрічаються диференціальні рівняння першого порядку -ої степені. Означення 5.1. Функція , визначена і (5.2) неперервнодиференційовна на називається розв’язком Д.Р. (5.1), якщо вона після підстановки перетворює Д.Р. (5.1) в тотожність Означення 5.2. Будемо говорити, що рівняння визначає розв’язок Д.Р.(5.1) в нормальній формі, якщо воно визначає як функцію і вона являється розв’язком Д.Р.(5.1). Означення 5.3. Рівняння , ,, визначає розв’язок Д.Р.(5.1) в параметричній формі, якщо Криві на ел., які відповідають розв’язкам, будемо називати Задача Коші - задача знаходження розв’язків, які задовільняють умови . Означення 5.4. Говорять, що задача Коші для Д.Р.(5.1) з початковими умовами має єдиний розв’язок, якшо через в достатньо малому околі її проходить стільки , скільки напрямків поля визначає Д.Р. в цій точці. В противному – не єдиний розв’язок. Теорема 5.1. (про існування і єдиність розв’язку задачі Коші). Якщо функція задовільняє наступним умовам: а) Являється визначеною і неперервною разом зі своїми ЧП в деякому замкненому околі т.; б); в); то Д.Р.(1) має єдиний розв’язок , визначений і неперервно диференційовний в околі т , задовільняючий умови і такий, що ► Без доведення ◄ Припустимо, що розв’язуючи Д.Р.(1) відносно , ми знайдемо дійсні розв’язки (5.3) де визначені в обл. так, що маємо Д.Р. першого порядку, розв’язаних відносно . Припустимо, що в точці , напрямок поля, визначений кожним Д.Р. (5.3), різний. Так що різних рівнянь не можуть дотикатися друг друга на . Нехай кожне Д.Р. (5.3) на має загальний інтеграл (5.4) Означення 5.5. Сукупність інтегралів (5.4) будемо називати загальним інтегралом Д.Р. (5.1) в обл. . Інколи замвсть співвідношення (5.4) записують (5.5) Якщо поле на не задовільняє сказаному вище, тобто існує хоча б одна точка , в якій значення хоча б двох функцій співпали, то відповідаючі Д.Р. дотикаються друг друга в точці . Тому крім Д.Р. (5.3), будуть ще склеєні . Всі вони будуть входити в (5.4) або (5.5). В загальному випадку Д.Р. (5.1) не удається розв’язати відносно в елементарних функціях. В цих випадках шукають однопараметричне сімейство в вигляді (5.6) яке називається загальним інтегралом Д.Р. (5.1). Якщо сімейство задано в вигляді (5.7) то воно називається загальним розв’язком Д.Р. (5.1) Зауважимо, що в (5.6) можуть входити і розв’язки Д.Р. виду (5.3), коли -комплексні. Ми таких Д.Р. не будемо розглядати, тому відповідні їм розв’язки треба виключати. Сімейство , заданих в параметричному вигляді (5.8) будемо називати загальними розв’язками Д.Р. в параметричній формі. Означення 5.6. Розв’язок Д.Р. (5.1) будемо називати частинним розв’язком, якщо в кожній його точці задача Коші має єдиний розв’язок. Означення 5.7. Розв’язок називається особливим розв’язком, якщо в кожній його точці порушується єдинність розв’язку задачі Коші. Аналогічно Д.Р., розв’язаним відносно , Д.Р. (5.1) може мати розв’язки, які являються ні частинними, ні особливими. Аналіз частинних і особливих розв’язків для цих рівнянь більш складний. Зауважимо, що в випадку (5.3) розв’язок буде особливим, якщо буде особливим хоча б для одного з Д.Р. (5.3). Приклад 5.1. (5.9) З (5.9) маємо: Тоді - загальний інтеграл. або . Цей загальний інтеграл є накладенням сімейств двох (мал. 5.1). Розв’язок задачі Коші для Д.Р. (5.9) в кожній точці площіни являється єдиним. В точці ми маємо два напрямки поля:; І через цю точку проходить два , якщо (5.11) і , якщо . Розв’язки (10),(11) – частинні розв’язки. Особливих розв’язків немає. 2. Знаходження кривих, підозрілих на особливий розв’язок. Припустимо, що Д.Р. (5.1) представлено в формі (5.3). При досліджені на особливий розв’язок рівнянь виду (5.3) ми прийшли до висновку, що ці розв’язки можливі на тих кривих, на яких являється необмеженою. Але в переході від Д.Р. (5.1) до рівнянь (5.3) є недоцільність при визначені особливих розв’язків, так як . Дійсно, припустимо, що _____ похідні , тоді , звідки (5.12). Припустимо, що , тоді буде необмеженою при умові (5.13) Таким чином, криві, підозрілі на особливий розв’язок будуть визначатися з системи (5.14) Розв’язок системи (5.14) =0 (5.15) дискримінантна крива. Якщо вона задовільняє Д.Р. (5.1) і в кожній точці порушується єдність, то це буде особливий розв’язок. Приклад 5.2. (5.16) , (5.17) Співвідношення (5ю17) – дискримінантна крива рівняння (5.16). А на ній ми маємо не два а один напрямок поля . В той же час – через неї може проходити не одна . 5.3. Загальний метод введення параметра. Розглянемо Д.Р. (5.1). Припустимо, що воно допускає параметризацію (5.18) Так, що при всіх значеннях параметрів і . Використовуючи (5.18) і співвідношення ми з Д.Р. (5.1) завжди зможемо привести до Д.Р., яке розв'язане Відносно похідної. Тому Візьмемо, наприклад, за незалежну змінну, – за залежну, тоді прийдемо до Д.Р. (5.19) Якщо (5.20) загальний розв'язок Д.Р. (5.19), то загальний розв'язок Д.Р. (5.1) можна отримати в параметричній формі. (5.21) Розглянемо деякі частинні випадки: А. Д.Р., розв'язані віднлсносно шуканої функції. Це рівняння має вигляд (5.22) За параметри і можна взяти і . Позначимо , тоді (5.23) Маємо Звідки (5.24) Нехай – загальний розв'язок Д.Р. (5.24), тоді – загальний розв'язок Д.Р. (5.22). Д.Р. (5.24) може мати особливий розв'язок , тоді Д.Р. (5.22) може мати особливий розв'язок . Б. Випадок, коли Д.Р. розв'язане відносно незалежної змінної. Це рівняння має вигляд (5.25) Інтегрується воно аналогічно Д.Р. (5.22). Покладемо . Тоді Використовуючи співвідношення , отримаємо (5.26) Якщо – загальний інтеграл Д.Р. (5.26), то (5.27) загальний інтеграл Д.Р. (5.25). Якщо – особливий рощзв'язок Д.Р.(5.26), то -може бути особливим розв'язком Д.Р. (5.25). Розглянемо тепер більш прості випадки, коли рівняння можна проінтегрувати. В. Рівняння Лагранжа. Це рівняння має вигляд (5.28) Воно інтегрується в квадратурах. Покладемо . Тоді (5.29) З (5.29) маємо (5.30) Д.Р. (5.30) лінійне по (5.31) Нехай – розв'язок Д.Р. (5.31). Тоді загальний розв'язок рівняння Лагранжа запишемо в параметричній формі (5.32) Особливі розв'язки можуть бути там, де (5.33) тобто (5.34), де – корені рівняння (5.33).Розв'язок (5.34) може бути частинним або особливим. Г. Рівняння Клеро. Це рівняння – частинний випадок рівняння Лагранжа, коли . (5.35) Покладемо , тоді (5.36) Використовуючи , отримаємо (5.37) Рівняння (5.37) розпадається на два (5.38) Перше рівняння дає , підставляючи яке в (5.35) будемо мати загальний розав’язок (5.39) Друге - , разом з (5.35) утворює параметричні розв’язкі (5.40) Розв’язок (5.40) являється особливим, так як він співпадає з _______. Дійсно звідки (5.41) Дискримінантна крива (3.41) співпадає з розв’язком (3.40). Приклад 5.3. Розв’язати рівняння Лагранжа. Покладемо . Маємо , , Отримали лінійне рівняння Його розв’язок (5.42) (5.43) загальний розв’язок нашого рівняння в параметричній формі. Або, виключаючи : (5.44) Знайдемо ті розв’язки, яким відповідають Перший розв’язок – офівфісобливий, другий – частинний. Приклад 5.4. Це рівняння Клеро. Його загальний розв’язок – Запишемо дискримінантну криву Звідки - особливий розв’язок, так як через цей розв’язок проходить ще розв’язок, який міститься в загальному при . 4. Неповні рівняння. а). Д.Р. які містять тільки похідну. Це рівняння вигляду (5.45) Рівняння (5.45) може мати скінчену або нескінчену кількість дійсних розв’язків. (5.46) де – деякі числа, задовільняючі функцію . Інтегруємо (5.46) (5.47) Так як то (5.48) загальний інтеграл Д.Р. (5.45). Таким чином при таких припущеннях Д.Р. (5.45) є системою прямих ліній, які можна записати у вигляді (5.48). При цьому в (5.48) можуть входити комплексні розв’язки Д.Р. Приклад 5.5. Розв’язати . Згідно (5.48) – загальний інтеграл. Однак у нього крім дійсного розв’язку , входять розв’язки комплексного Д.Р. б) Д.Р., які не містять шуканої функції мають вигляд (5.49) Якщо (5.49) можна розв’язати відносно похідної (5.50) то (5.51) являється загальним інтегралом Д.Р. (5.49). Якщо ж розв’язати відносно не можна, а допускається параметризація (5.52) тобто (5.53) Тоді загальний розв’язок знаходять в параметричній формі (5.54) Якщо Д.Р. (5.49) має вигляд (5.55) тоді це рівняння легко параметризується .В частинному випадку . Загальний розв’язок запишеться в формі (5.56) Приклад 5.6. Зайти загальний розв’язок рівняння . Вводимо параметризацію . , , Маємо Загальний розв’язок в параметричній формі. в) Д.Р., які не містятьнезалежної змінної. Це рівняння вигляду (5.57) Якщо рівняння (5.57) розв’язане відносно , тобто (5.58) то (5.59) Являється загальним інтегралом Д.Р. (5.57). Особливими розв’язками можуть бути криві , де – корені рівняння (або ). Якщо Д.Р. (5.57) не можна розв’язати відносно , але воно допускає параметризацію (5.60) то (5.61) Загальний розв’язок Д.Р. (5.57) в параметричній формі. Приклад 5.7. Розв’язати . Введемо параметризацію . звідки зашальний розв’язок нашого рівняння. г) Узагальнено однорідні рівняння. Д.Р. назвемо узагальнено однорідним, якщо ліва частина являється однорідною функцією аргументів , яким відповідають величини -го, -го і виміру, тобто (5.62) Зробимо заміну (5.63) де – нова незалежна змінна, – нова шукана функція. Маємо тобто . З іншої сторони (5.64) Підставимо (5.63),(5.64) в Д.Р. (5.1) отримане рівняння (5.65) не містить незалежної змінної . |