Математика: Середні Значення, Реферат

 

Середні значення

Статистика оперує такими середніми значеннями: серед­нє арифметичне, середнє квадрати­чне, середнє геометричне.

Середнє арифметичне. Нехай ми маємо п об'єктів, у яких виміряно деяку характеристику, що має значення x1, x2, …, xn.

Середнім значенням (або середнім арифметичним) називається таке число , яке дістають ді­ленням суми всіх да­них вибірки x1, x2, …, xn на число цих даних n,

або   (- знак суми – “сигма” велика)

Приклади. 1) Протягом перших п’яти днів березня температура повітря, вимірювана о 8 год. ранку, станови­ла 3°, 5°, 4°, 1°, 2°. Знайти середню температуру за ці дні.

Маємо:   

2) 3 двох учнів треба вибрати одного в баскетбольну команду. Відомі кількості їхніх влу­чень м'яча в корзину на кожні десять кидків під час тренувань.

Таблиця 1

Номер  тренувань 1 2 3 4 5

Перший учень

4 3 5 3 6
Кількість влучень

Другий учень

5 4 3 6 5

Розв'язання.  

Знаходимо середню кількість влу­чень.

Для першого учня:

Для другого учня:

Отже, в команду слід узяти другого учня.

Розглянемо деякі властивості середнього арифметичного.

1) Знайдемо відхилення l кожного значення xj від се­реднього. Різниця х —може бути від'є­мною або додатною.

Сума всіх п відхилень дорівнює нулю. Проілюструє­мо цю властивість   на   при­кладі. Вихі­дні дані:. (0; 0; 1; 1; 3;3;3; 5);  n= 8;  = 2.

2) Якщо до кожного ре­зультату спостережень додати деяке число с (константу), то середнє арифметичне  пере­твориться в + с. Візьмемо, наприклад, попередні 8 зна­чень і додамо до кож­ного з них по 5. Дістанемо числа 5; 5; 6: 6; 8; 8; 8; 10, середнє арифметичне яких (5 + 5+ 6 + 6 + 8 + 8 + 8+10) : 8 = 7. Середнє на 5 одиниць більше.

Таблиця 2

Значення Середнє арифметичне Відхилення
0 2 -2
0 2 -2
1 2 -1
1 2 -1
3 2 1
3 2 1
3 2 1
5 2 3
-
0

3) Якщо кожне значення сукупності з середнім  по­множити на константу с, то середнє ариф­метичне стане с. Перевірте властивість, використовуючи попередні дані.

Якщо величини деяких даних повторюються, то середнє арифметичне визначають за фор­мулою

,де

fiчастота повторення результату xi.

Приклади. 1) Протягом двадцяти днів серпня тем­пература повітря вранці була такою: 17°, 18°, 19°, 20°, 18°, 18°, 18o, 19o, 19°, 20°, 20°, 19°, !9°, 19°, 20°, 19o, 18°, 17°, 16°, 19°.

Знайти середню температуру за цими даними.

Тут окремі значення (17°, 18°, 19°, 20°) повторюються. Середня температура дорівнює:

2) Подаємо запис обчислення середнього арифметичного при повторенні деяких даних у ви­гляді таблиці.

Таблиця 3

Вихідні

дані

xi

Час­тота fi

xifi

Остаточне обчис­лення
2 6 10 2 2 4

де I=1,2,3,…,11

2 6 10 3 1 3
3 6 11 4 3 12
4 6 12 5 2 10
4 8 12 6 4 24
4 9 15 8 1 8
5 9 15 9 3 27
5 9 15 10 2 20
11 1 11
12 2 24
15 3 45

3) За контрольну роботу учні одержали такі оцінки

Оцінки (бали)    5   4   3    2

Кількість

учнів                    6   7   4   17

Чи достатньо засвоєний матеріал?

Знайдемо середню величину оцінок.

Ця оцінка є задовільною. Але частота оцінки «2» (мода) дуже висока, вона дорівнює 17.  Отже, матеріал засвоєний учнями недостатньо.

Середнє квадратичне відхилення. Ми вже встановили, що сума відхилень даних від сере­днього значення дорівнює нулю. Тому, якби ми вирішили шукати середній показник відхилень, то він також дорівнював би нулю. В статистиці користуються іншим показником — середнім квадратич­ним відхиленням, який знаходять так: усі відхилення підносять до квадрата; знаходять середнє арифметичне цих квадратів; із знайденого середнього арифметичного добувають квадра­тний корінь. Середнє квадратичне відхилення позначають грецькою буквою σ (“сигма” мала):

Знаходження середнього квадратичного відхилення подано в таблиці 4.

Таблиця 4

Зна­чен­ня xi

Сере­днє ариф­ме­ти­чне

Відхи­лення

xi

Квадрат відхи­лення

(xi-)2

Квадратичне від­хилення σ
5

- 7

49
8 - 4 16
10 - 2 4
12 0 0
17 5 25
20 8 64

=72

*=

=12

У статистиці користуються також величиною σ2 (квад­рат середнього квадратичного відхи­лення), яку називають дисперсією.

Середнє геометричне п додатних чисел х1, х2,   х3, ...,хп  визначається виразом

 , тобто середнє ге­ометричне х1 х2 х3...п є корінь n-го степеня з добутку всіх xi  (і = 1, 2, ...).

У випадку двох чисел а і b середнє геометричне нази­вають   середнім   пропорційним   цих   чисел.   З    рівності тс = аb випливає,  що а : mc= тс : b.

На практиці окремим особам, організаціям, керівникам підприємств доводиться розв'язу­вати різноманітні задачі, пов'язані з використанням поняття моди, медіани, серед­нього. Напри­клад, яких розмірів дитячого взуття слід випускати більше, ніж інших; на якому з міських марш­ру­тів треба пустити автобусів більше, ніж на решті; якого розміру спортивних костюмів слід ви­готовити найбільше для учнів 10—11 класів тощо.

Розглянуті моду, медіану і середні значення називають мірами центральної тенденції.


Еще из раздела Математика:


 Это интересно
 Реклама
 Поиск рефератов
 
 Афоризм
Что бы избавиться от назойливого приставания на улице, на вопрос: "Что вы делаете сегодня вечером?", смело отвечайте: "Мне к трем к венерологу, а потом я свободна"!
 Гороскоп
Гороскопы
 Счётчики
bigmir)net TOP 100