Коммуникации и связь: Теорема Котельникова. Побудова ортонормованого базису, Контрольная работа

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра радіотехніки

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

з курсу «Сигнали та процеси»

Варіант № 9

 

Черкаси 2010


Варіант 9

 

1.  Теорема Котельникова. Побудова ортонормованого базису

 

Теорема Котельникова (у англомовній літературі - теорема Найквіста - Шенона) свідчить, що, якщо аналоговий сигнал x(t)\; має обмежений спектр, то він може бути відновлений однозначно і без втрат по своїх дискретних відліках, узятих з частотою більш подвоєної максимальної частоти спектру \Omega\;:

f>\frac{\Omega}{\pi}\;, 

де \Omega\; - верхня частота в спектрі, або (формулюючи по-іншому) по відліках, узятих з періодом \Delta\;, частіше за напівперіод максимальної частоти спектру \Omega\;

\Delta<\frac{\pi}{\Omega}\;.

Пояснення:

Таке трактування розглядає ідеальний випадок, коли сигнал почався нескінченно давно і ніколи не закінчиться, а також не має в тимчасовій характеристиці точок розриву. Саме це має на увазі поняття «спектр, обмежений частотою \Omega\;».

Зрозуміло, реальні сигнали (наприклад, звук на цифровому носієві) не володіють такими властивостями, оскільки вони кінцеві за часом і, зазвичай, мають в тимчасовій характеристиці розриви. Відповідно, їх спектр безконечний. В такому разі повне відновлення сигналу неможливе і з теореми Котельникова витікають 2 слідства:

1.  Будь-який аналоговий сигнал може бути відновлений з якою завгодно точністю по своїх дискретних відліках, узятих з частотою

f\;>\;2\Omega

де \Omega\; - максимальна частота, якою обмежений спектр реального сигналу.

2. Якщо максимальна частота в сигналі перевищує половину частоти переривання, то способи відновити сигнал з дискретного в аналоговий без спотворень не існує.

Кажучи ширше, теорема Котельникова стверджує, що безперервний сигнал x(t)\; можна представити у вигляді інтерполяційного ряду

x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(k\Delta)\mathrm{sinc}\left[\frac{\pi}{\Delta}\left(t - k\Delta\right)\right],

де \mathrm{sinc}=\sin{x}/x\; - Інтервал дискретизації задовольняє обмеженням 0<\Delta\leq\pi/\Omega. Миттєві значення даного ряду є дискретні відліки сигналу x(k\Delta)\;.

Згодом було запропоновано велике число різних способів апроксимації сигналів з обмеженим спектром, узагальнювальних теорему відліків. Так, замість кардинального ряду по sinc-функціям, що є характеристичними функціями прямокутних імпульсів, можна використовувати ряди по конечно або бесконечнократним сверткам sinc-функцій.

Наприклад, справедливо наступне узагальнення ряду Котельникова безперервної функції x(t)\; з фінітним спектром (\mathrm{supp}\;\hat{x}=[-\Omega,\Omega]) на основі перетворень Фур'є атомарних функцій:


x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{x(k\Delta)\prod_{n=1}^{M}\mathrm{sinc}\left[\frac{\pi}{a^{n-1}\Delta}(t-k\Delta)\right]}

де параметри a, M\; задовольняють нерівності a^{M-1}(a-2)+1>0\;, а інтервал дискретизації

0<\Delta\leq\frac{\pi}{\Omega}\left[1+\frac{a^{M-1}+1}{a^{M-1}(a-1)}\right].

2.  З неперервного сигналу s(t) = 10cos(2π800t)В беруться ідеальні відліки з частотою fВ = 400Гц. Отримані дискретні сигнали пропускаються через ідеальний ФНЧ з частотою зрізу 0,4fВ. Необхідно визначити сигнал, відновлений за допомогою фільтрації

Схема включення ФНЧ (рис. 1).

Рисунок 1 - Сигнал s(t) = 10cos(2π800t) В


Рисунок 2 – Гармоніка

3.  Балансна амплітудна модуляція

 

У амплітудно-модульованому (АМ) сигналі:

значна доля потужності зосереджена в несучому коливанні

Для ефективнішого використання потужності передавача можна формувати Ам-сигнали з пригніченим несучим коливанням, реалізовуючи так звану балансну амплітудну модуляцію (рис. 3).

Рис. 3


Однотональний Ам-сигнал з балансною модуляцією має вигляд:

Такий сигнал з фізичної точки зору є биттям двох гармонійних сигналів з однаковими амплітудами і частотами   і  Під час переходу тієї, що огинає биття через нуль фаза високочастотного заповнення стрибком змінюється на 180о, оскільки функція  має різні знаки справа і зліва від нуля. Здійснення балансної модуляції, як і зворотного процесу демодуляції (детектування), технічно складніше, ніж при звичайній амплітудній модуляції.

 

4.  Задані параметри коливання з односмуговою АМ: А0 = 25 В, Е = 1,5 В, θ0= π/4, γ = π/3, f0 = 20 кГц, F = 4 кГц. Записати вираз для аналітичного сигналу і комплексної обвідної заданого коливання

uΩ(t)= UΩsinΩt

u(t) = Uω sinω0t + m Uω/2 sin(ω0 + Ω) t+ m Uω/2 sin(ω0 - Ω) t

u(t) = (Uω + UΩ sinΩt) sinω0t

u(t) = (А0 + Е sin(f0 t+ θ0) )sin (F t + γ ) =(25 + 1,5 sin(20 t + π/4) )sin (2 t + π/3).


Еще из раздела Коммуникации и связь:


 Это интересно
 Реклама
 Поиск рефератов
 
 Афоризм
Более 10-ти лет была прикована к постели гражданка Н., и только благодаря усилиям врачей муж согласился ее отковать.
 Гороскоп
Гороскопы
 Счётчики
bigmir)net TOP 100